Materi Grafik Fungsi Eksponen

alvininfo.com - Grafik fungsi eksponen adalah grafik yang selalu simetri terhadap sumbu \(y\) dan memotong sumbu \(y\) di titik \((0,k)\). Materi fungsi eksponen dan grafik fungsi eksponen cukup penting untuk kita pelajari karena banyak penerapannya pada kehidupan nyata terutama pada bidang ekonomi, biologi dan sosial. Penerapan fungsi eksponen pada bidang ekonomi yaitu untuk perhitungan bunga majemuk. 

Aplikasi fungsi eksponen di bidang biologi yaitu untuk menghitung perkembangan dan pertambahan suatu bakteri. Contoh penerapan fungsi eksponen di bidang sosial yaitu untuk menghitung pertambahan warga negara dalam kurun waktu tertentu. 

Sebelum belajar grafik fungsi eksponen kita harus tau bentuk umum dari fungsi eksponen terlebih dahulu. 



Bentuk Umum Fungsi Eksponen 


\[f(x)=k.a^{x}\]

Dimana \(x\) sebagai variabel bebas atau peubah dengan syarat \(x\) harus bilangan real. \(k\) sebagai konstanta  dan \(a\) sebagai basis. Basis sendiri memiliki syarat yaitu lebih dari nol dan tidak boleh bernilai satu, kenapa \(a\) tidak boleh bernilai satu? Karena ketika \(a\) nya bernilai satu maka grafiknya berupa grafik linier jadi bukan fungsi eksponensial. 

Jika syarat basis tadi dibuat interval maka hasilnya seperti berikut ini \(0<a<1\) dan \(a>1\). \(f(x)\) disebut variabel tidak bebas dan boleh diganti menjadi \(y\), nilai \(f(x)\) atau \(y\) selalu bergantung pada nilai \(x\) yang dinyatakan sebagai variabel bebas. 



Jenis-Jenis Grafik Fungsi Eksponen


Ada dua jenis grafik fungsi eksponen, yaitu :

Grafik fungsi eksponen monoton naik


Sebuah grafik fungsi eksponen akan naik ke atas ketika \(a>1\) dan ini yang disebut monoton naik.

Grafik fungsi eksponen monoton turun


Sebuah grafik fungsi eksponen akan turun ke bawah ketika \(0<a<1\) dan ini yang disebut monoton turun. 

Jadi nilai \(a\) berpengaruh terhadap bentuk grafik dan yang menyebabkan bentuk grafik akan menjadi monoton naik atau monoton turun.



Cara Menggambarkan Grafik Fungsi Eksponen 


  1. Memilih secara bebas dan acak bilangan bulat pada titik \(x\) tetapi biasanya untuk mempermudah pakai nilai dari \(-3\) sampai \(3\). 
  2. Substitusi nilai dari \(-3\) sampai \(3\) ke fungsi eksponen \(f(x)\) atau \(y\) yang tersedia pada soal.
  3. Menggabungkan nilai \(x\) dengan pasangannya pada saat proses substitusi yang menghasilkan nilai  \(f(x)\) atau \(y\) sehingga diperoleh titik koordinat \((x,y)\). 
  4. Menggambarkan titik koordinat yang diperoleh pada bidang kartesius. 

Contoh Soal Menggambar Grafik Fungsi Eksponen


Gambarkan grafik fungsi \(y=3^{-x}+1\) dan tentukan domain, range dan asimtotnya

Pembahasan

Langkah 1 : 

Memilih rentan nilai dari \(-3\) sampai \(3\)

Langkah 2 :

Substitusikan rentan nilai \(-3\) sampai \(3\) ke \(y=3^{-x}+1\)

\(x=1\Rightarrow\) \(y=3^{-1}+1=\frac{1}{3^{1}}+1=\frac{4}{3}\)
\(x=2\Rightarrow\) \(y=3^{-2}+1=\frac{1}{3^{2}}+1=\frac{10}{9}\)
\(x=3\Rightarrow\) \(y=3^{-3}+1=\frac{1}{3^{3}}+1=\frac{28}{27}\)
\(x=0\Rightarrow\) \(y=3^{-0}+1=\frac{1}{0^{1}}+1=2\)
\(x=-1\Rightarrow\) \(y=3^{-(-1)}+1={3^{1}}+1=4\)
\(x=-2\Rightarrow\) \(y=3^{-(-2)}+1={3^{2}}+1=10\)
\(x=-3\Rightarrow\) \(y=3^{-(-3)}+1={3^{3}}+1=28\)

Langkah 3 :

Menggabungkan \(x\) dan \(y\) agar diperoleh titik koordinat \((x,y)\)

Dari Langkah \(2\) diperoleh titik koordinat \((x,y)\) sebagai berikut :

\((1,\frac{4}{3})\)
\((2,\frac{10}{9})\)
\((3,\frac{28}{27})\)
\((0,2)\)
\((-1,4)\)
\((-2,10)\)
\((-3,28)\)

Langkah 4 :

Menggambarkan titik koordinat yang diperoleh pada bidang kartesius.



Domain : \(\left\{x|-\infty<x<\infty, x \in R\right\}\)
Range : \(\left\{y|1<y<\infty, y\in R\right\}\)

Asimtot yaitu garis yang semakin mendekati tetapi tidak pernah bersinggungan dengan garis dari fungsi eksponen, jadi asimtot dari \(y=3^{-x}+1\) adalah \(y=1\).

Grafik fungsi \(y=3^{-x}+1\) adalah grafik fungsi eksponen monoton turun, bisa dilihat pada gambar diatas grafiknya turun ke bawah.



Cara Cepat Menentukan Grafik Fungsi Eksponen dan Asimtot


Kita akan menerapkan trik ini untuk menjawab contoh soal menggambar grafik fungsi eksponen di atas. 

Cara cepat untuk menentukan jenis grafik fungsi eksponen tanpa perlu menggambar 


  1. Caranya yaitu dengan melihat basisnya, kebetulan pada contoh soal menggambar grafik fungsi eksponen diatas, basis nya \(3^{-x}\) jika diubah menjadi \(\frac{1}{3^{x}}\). Basis nya adalah \(\frac{1}{3}\) karena \(\frac{1}{3}\) ada pada interval \(0<a<1\) maka grafik nya monoton turun.

Cara cepat untuk menentukan asimtot pada grafik fungsi eksponen


  1. Jika fungsinya seperti ini \(f(x)=k.a^{x}\) maka asimtotnya adalah sumbu \(x\) sendiri.
  2. Jika bentuk fungsi umum nya \(f(x)=k.a^{x}\) ditambah angka maka grafik standarnya akan  berubah sejauh angka tersebut dan angka tersebut adalah asimtotnya

Pernyataan 2. ini sesuai pada contoh soal menggambar grafik fungsi eksponen di atas karena pada contoh soal tersebut fungsi eksponen nya  \(y=3^{-x}+1\), ditambah angka \(1\) dan angka \(1\) tersebut menjadi asimtot-nya plus grafiknya naik sejauh satu satuan dari nol. 



Hubungan Konstanta dan Basis dengan Grafik Fungsi Eksponen


  • Ketika konstanta nya positif maka fungsi eksponen berada di atas sumbu \(x\). 
  • Ketika konstanta nya negatif  dan basis nya lebih dari satu maka akan menjadi grafik monoton turun. 
  • Ketika basis nya berada pada interval \(0<a<1\) dan konstantanya negatif maka akan menjadi grafik monoton naik.



Contoh Soal Grafik Fungsi Eksponen dan Pembahasannya


Ada 5 soal yang terkait dengan grafik fungsi eksponen. Silahkan dipelajari.

Soal Nomor 1


Gambarkan grafik dari fungsi eksponen berikut :

a) \(f(x)=(\frac{1}{2})^{x}\) dalam interval \(-3\leq x \leq 3\)
b) \(f(x)=2.3^{x}\) dalam interval \(-2\leq x \leq 2\)
c) \(f(x)=2^{x-1}\) dalam interval \(-2\leq x \leq 3\)

Pembahasan

Pembahasan Bagian a).

\(f(x)=(\frac{1}{2})^{x}\) dalam interval \(-3\leq x \leq 3\)

Sebelum proses substitusi ubah \((\frac{1}{2})^{x}\) menjadi \((2^{-1})^{x}\) dan \(f(x)=y\) untuk mempermudah proses perhitungan sehingga diperoleh \(y=2^{-x}\)

Langkah 1 :

\(x=-3\Rightarrow y=2^{-x}=2^{3}=8\)
\(x=-2\Rightarrow y=2^{-x}=2^{2}=4\)
\(x=-1\Rightarrow y=2^{-x}=2^{1}=2\)
\(x=0\Rightarrow y= 2^{-x})=2^{0}=1\)
\(x=1\Rightarrow y= 2^{-x}=2^{-1}=\frac{1}{2}\)
\(x=2\Rightarrow y= 2^{-x}=2^{-2}=\frac{1}{4}\)
\(x=3\Rightarrow y= 2^{-x}=2^{-3}=\frac{1}{8}\)

Langkah 2 :

Gabungkan \(x\) dan \(y\) sesuai pasangannya pada saat proses substitusi dan diperoleh titik koordinat \((x,y)\) di bawah ini :

  1. \((-3,8)\)
  2. \((-2,4)\)
  3. \((-1,2)\)
  4. \((0,1)\)
  5. \((1,\frac{1}{2})\)
  6. \((2,\frac{1}{4})\)
  7. \((3,\frac{1}{8})\)

Langkah 3 :

Gambar delapan titik koordinat tadi pada bidang kartesius dan hasilnya seperti di bawah ini :



Pembahasan Bagian b).

\(f(x)=2.3^{x}\) dalam interval \(-2\leq x \leq 2\)

\(f(x)=2.3^{x}\Rightarrow y=2.3^{x} \)

Langkah 1 : 

Substitusikan semua angka yang berada pada interval \(-2\leq x \leq 2\) ke fungsi \(y=2.3^{x}\)

\(x=-2\Rightarrow y=2.3^{-2}=2\times\frac{1}{3^{2}}=\frac{2}{9}\)
\(x=-1\Rightarrow y=2.3^{-1}=2\times\frac{1}{3^{1}}=\frac{2}{3}\)
\(x=0\Rightarrow y=2.3^{0}=2\times1=2\)
\(x=1\Rightarrow y=2.3^{1}=2\times3=6\)
\(x=2\Rightarrow y=2.3^{2}=2\times9=18\)

Langkah 2 : 

Gabungan \(x\) dan \(y\) sesuai pasangannya pada saat proses substitusi sehingga didapatkan titik koordinat \((x,y)\) seperti di bawah ini :

  1. \((-2,\frac{2}{9})\)
  2. \((-1,\frac{2}{3})\)
  3. \((0,2)\)
  4. \((1,6)\)
  5. \((2,18)\)

Langkah 3 :

Gambarkan lima titik koordinat yang ada di langkah dua pada bidang kartesius sampai membentuk gambar grafik fungsi eksponen.



Pembahasan Bagian c).

\(f(x)=2^{x-1}\) dalam interval \(-2\leq x \leq 3\)

\(f(x)=2^{x-1}\) \(\Rightarrow y=2^{x-1}\)

Langkah 1 :

Substitusikan semua angka yang berada pada interval \(-2\leq x \leq 3\) ke fungsi \(y=2^{x-1}\)

\(x=-2\Rightarrow y=2^{-2-1} = 2^{-3}=\frac{1}{8}\)
\(x=-1\Rightarrow y=2^{-1-1} = 2^{-2}=\frac{1}{4}\)
\(x=0\Rightarrow y=2^{0-1} = 2^{-1}=\frac{1}{2}\)
\(x=1\Rightarrow y=2^{1-1} = 2^{0}=1\)
\(x=2\Rightarrow y=2^{2-1} = 2^{1}=2\)
\(x=3\Rightarrow y=2^{3-1} = 2^{2}=4\)

Langkah 2 :

Gabungkan \(x\) dan \(y\) sesuai pasangannya pada saat proses substitusi di langkah \(1\) sehingga diperoleh titik koordinat.

  1. \((-2,\frac{1}{8})\)
  2. \((-1,\frac{1}{4})\)
  3. \((0,\frac{1}{2})\)
  4. \((1,1)\)
  5. \((2,2)\)
  6. \((3,4)\)

Langkah 3 :

Hasil gambar grafik fungsi eksponen bagian c) seperti di bawah ini :



Soal Nomor 2


Diketahui grafik fungsi \(f(x)=k.3^{x}\). Grafik tersebut melalui titik \((-1,2)\), tentukan :

a) Nilai \(k\) ?
b) Titik potong grafik fungsi terhadap sumbu \(y\) ?

Pembahasan

๐Ÿ‘‰Grafik fungsi \(f(x)=k.3^{x}\) dan melalui titik \((-1,2)\)

Langkah 1 : 

\(f(x)=k.3^{x}\Rightarrow y=k.3^{x}\) 

Langkah 2 :

Untuk mencari nilai \(k\) caranya dengan mensubtitusikan titik \((-1,2)\) ke \(y=k.3^{x}\) 

\(y=k.3^{x}\) 
\(2=k.3^{-1}\) 
\(2=k\times\frac{1}{3}\)
\(2=\frac{k}{3}\)
\(k=6\)

Titik potong grafik fungsi terhadap sumbu \(y\) terjadi ketika \(x=0\), maka caranya seperti di bawah ini :

\(y=k.3^{x}\)
\(y=6.3^{0}\)
\(y=6\times1\)
\(y=6\)

Jadi titik potong grafik fungsi terhadap sumbu \(y\) terjadi pada titik koordinat \((0,6)\).


Soal Nomor 3


Grafik \(f(x)=-2.3^{x}\) ditunjukan oleh gambar ..

A. 
Cara menentukan grafik fungsi eksponen jika diketahui fungsi eksponennya

B. 
Cara menentukan grafik fungsi eksponen berdasarkan fungsi eksponen

Pembahasan

\(f(x)=-2.3^{x}\) 
๐Ÿ‘‰ basis pada fungsi eksponen di atas nilainya \(3\) dan konstantanya negatif dua. 

Seperti yang sudah saya terangkan di atas mengenai hubungan basis dan konstanta dengan grafik fungsi eksponen. Jika basisnya lebih dari satu dan konstantanya bernilai negatif maka grafiknya akan menjadi grafik monoton turun. Pernyataan ini sesuai dan menjawab soal nomor \(3\).

Jadi jawabannya adalah B.


Soal Nomor 4


Tentukan fungsi dari grafik berikut :

Cara Menentukan Fungsi Eksponen Berdasarkan Gambar Grafik Fungsi Eksponen


A. \(y=2^{x}\)
B. \(y=4^{x}\)
C. \(y=(\frac{1}{2})^{x}\)
D. \(y=(\frac{1}{4})^{x}\)
E. \(y=(\frac{1}{8})^{x}\)

Pembahasan

Karena grafiknya monoton turun, A dan B sudah pasti bukan jawabannya. Untuk menjawab soal nomor \(4\) kalian tinggal coba subtitusikan titik koordinatnya saja ke fungsi grafik eksponen yang tersedia di pilihan ganda. Caranya seperti di bawah ini :

Substitusikan titik \((-1,4)\) dan \((0,1)\) ke \(y=(\frac{1}{2})^{x}\)

\(4=(\frac{1}{2})^{-1}\)
\(4=(2^{-1})^{-1}\)
\(4=2\) \(\rightarrow\) hasilnya tidak sama jadi tidak usah dilanjut untuk titik koordinat \((0,1)\) nya

Substitusikan titik \((-1,4)\) dan \((0,1)\) ke \(y=(\frac{1}{4})^{x}\)

\(4=(\frac{1}{4})^{-1}\)
\(4=(4^{-1})^{-1}\)
\(4=4\) \(\rightarrow\) Sesuai

\(1=(\frac{1}{4})^{0}\)
\(1=1\) \(\rightarrow\) Sesuai

karena jawabannya sudah ketemu jadi untuk pilihan ganda E tidak usah dihitung. Jadi jawabannya D.


Soal Nomor 5


Tentukan fungsi dari grafik berikut :

Cara menentukan fungsi eksponen jika diketahui grafik fungsi eksponennya


A. \(y=2^{x}+1\)
B. \(y=3^{x}+1\)
C. \(y=2^{x+1}\)
D. \(y=3^{x+1}\)
E. \(y=3^{x-1}\)

Pembahasan

Karena grafiknya monoton naik dan asimtotnya \(1\) jadi sudah pasti pilihan C,D dan E bukannya jawabannya. 

Jawaban yang tersisa tinggal A dan B, untuk mencari mana yang benar caranya dengan mensubtitusikan titik koordinat \((0,2)\) dan \((2,10)\) ke fungsi eksponen yang tersisa.

Substitusikan titik koordinat \((0,2)\) dan \((2,10)\) ke fungsi eksponen pada pilihan A

\(y=2^{x}+1\)
\(2=2^{0}+1\)
\(2=1+1\)
\(2=2\) \(\rightarrow\) Sesuai

\(y=2^{x}+1\)
\(10=2^{2}+1\)
\(10=4+1\)
\(10=5\) \(\rightarrow\)  Tidak Sesuai

Substitusikan titik koordinat \((0,2)\) dan \((2,10)\) ke fungsi eksponen pada pilihan B

\(y=3^{x}+1\)
\(2=3^{0}+1\)
\(2=1+1\)
\(2=2\) \(\rightarrow\) Sesuai

\(y=3^{x}+1\)
\(10=3^{2}+1\)
\(10=9+1\)
\(10=10\) \(\rightarrow\) Sesuai

Jadi jawaban soal nomor 5 adalah B.



Pentutup


Sekian penjelasan mengenai materi grafik fungsi eksponen, semoga bermanfaat. Jika ada yang kurang jelas bisa tanya langsung japri lewat Whats App ke saya, Insyaallah saya respon. Terimakasih ๐Ÿ‘