alvininfo.com - Hello Gaes !!! Kembali lagi bersama admin
ganteng alvininfo.com, kali ini saya akan membahas materi matriks matematika.
Kalian pasti udah ngga asing dong dengan matriks, banyak banget manfaat dari
matriks ini dalam kehidupan nyata.
Berikut contoh manfaat penerapan matriks
dalam kehidupan nyata atau sehari-hari :
- Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika seperti menemukan solusi masalah persamaan linear
- Membuat model sebuah permasalahan di bidang ekonomi
- Membuat model sebuah permasalahan di bidang pendidikan
- Penyelesaian dalam masalah jual beli
Pengertian Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi
atau persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.
Contoh Matriks
Penjelasan Tambahan :
- Matriks tanda kurung biasa
- Matriks tanda kurung siku
Notasi Matriks
Matriks dinyatakan dengan huruf kapital dan elemen-elemennya dinyatakan
dengan huruf non kapital. Jika \(A\) adalah matriks, \(a_{ij}\)
menyatakan elemen yang terletak pada baris ke-i dan kolom
ke-j.
Contoh Notasi Matriks
\[A=\left[ \begin{matrix} 3&5&6 \\ 1&4&-9 \\ 8&7&7\\
\end{matrix}\right]\]
Elemen pada baris ke-3 kolom ke-2 \(=a_{32}=7\)
Elemen pada baris ke-1 kolom ke-3 \(=a_{13}=6\)Ordo Matriks
Jika suatu matriks \(A\) terdiri dari \(m\) baris dan \(n\) kolom, maka
\(m\times n\) menyatakan ukuran atau ordo dari matriks \(A\).
Contoh Ordo Matriks
Tentukan ordo dari matriks di bawah ini :
\(1)
\hspace{4mm}X=\left[\begin{matrix}2&3&4\\4&1&-2\end{matrix}\right]\)
\(2) \hspace{4mm}Y=\left[\begin{matrix}5\\4\\3\end{matrix}\right]\)
Pembahasan
1) Ordo matriks \(X\) adalah \(2\times3\) ditulis \(X_{2\times3}\)
2) Ordo matriks \(Y\) adalah \(3\times1\) ditulis \(Y_{3\times1}\)
Jenis-jenis Matriks
Jenis-jenis matriks dikelompokkan menjadi tiga, yang pertama berdasarkan
banyak baris dan kolom, yang kedua berdasarkan pola elemen-elemen dan yang ketiga berdasarkan nilai determinannya.
Jenis-jenis Matriks Berdasarkan Banyak Baris dan Kolom
Matriks baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris saja tidak
peduli sebanyak apapun kolomnya.
Contoh matriks baris seperti di bawah ini :
\((1)\hspace{2mm}X=\left[\begin{matrix}1&2&2\end{matrix}\right]\)
\((2)\hspace{2mm}Y=\left[\begin{matrix}1&2&2&5\end{matrix}\right]\)
\((3)\hspace{2mm}Z=\left[\begin{matrix}4&5\end{matrix}\right]\)
Matriks kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom saja tidak
peduli sebanyak apapun barisnya.
Contoh matriks kolom seperti di bawah ini
:
\((1)\hspace{2mm}A=\left[\begin{matrix}2\\3\\2\end{matrix}\right]\)
\((2)\hspace{2mm}B=\left[\begin{matrix}4\\3\\2\\8\end{matrix}\right]\)
\((3)\hspace{2mm}C=\left[\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right]\)
Matriks persegi panjang
Matriks persegi panjang adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom
berbeda.
Contoh matriks persegi panjang seperti di bawah ini :
\((1)\hspace{2mm}A=\left[\begin{matrix}2&5\\3&6\\2&8\end{matrix}\right]\)
\((2)\hspace{2mm}B=\left[\begin{matrix}4&2&1\\4&6&2\end{matrix}\right]\)
Matriks persegi
Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang
sama.
Contoh matriks persegi seperti di bawah ini :
Penjelasan Tambahan :
- Matriks Persegi Ordo \(2\times2\)
- Matriks Persegi Ordo \(3\times3\)
- Trace matriks nomor \(1\) adalah \(11\), diperoleh dari \(3+8\)
- Trace matriks nomor \(2\) adalah \(19\), diperoleh dari \(8+6+5\)
Jenis-jenis Matriks Berdasarkan Pola Elemen-Elemen
Matriks nol \((O)\)
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya memiliki nilai nol.
Contoh matriks nol seperti di bawah ini :
\(O_{2\times3}=\left[\begin{matrix}0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right]\)
\(O_{2\times2}=\left[\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}\right]\)
Matriks diagonal \((D)\)
Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan elemen pada diagonal
utamanya tidak semua nol sementara elemen lainnya nol.
Berikut contoh
matriks diagonal :
\(D_{3\times3}=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)
\(D_{3\times3}=\left[\begin{matrix}3&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right]\)
Matriks identitas \((I)\)
Matriks identitas adalah matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal
utamanya bernilai \(1\) sedangkan elemen lainnya nol.
\(I_{3\times3}=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)
\(I_{2\times2}=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right]\)
Matriks segitiga
Matriks segitiga adalah matriks persegi dengan elemen-elemen di bawah atau
di atas diagonal utamanya bernilai nol semua.
Matriks segitiga terdiri dari matriks
segitiga atas dan segitiga bawah.
- Matriks segitiga atas \((U)\)
Contoh matriks segitiga atas seperti di bawah ini :
\(U_{3\times3}=\left[\begin{matrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&2\end{matrix}\right]\)
- Matriks segitiga bawah \((L)\)
Matriks segitiga bawah adalah matriks yang semua elemen di atas diagonal
utamanya bernilai nol.
Contoh matriks segitiga bawah seperti di bawah
ini :
\(L_{3\times3}=\left[\begin{matrix}1&0&0\\2&1&0\\1&2&2\end{matrix}\right]\)
Jenis-jenis Matriks Berdasarkan Nilai Determinannya
- Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya nol, \(\left|A\right|=0\)
- Matriks nonsingular adalah matriks yang nilai determinannya tidak sama dengan nol, \(\left|A\right|\neq0\)
Transpose Matriks
Transpose matriks merupakan sebuah matriks yang disusun dengan cara
menukar elemen pada baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya.
Matriks \(A\) transpose disimbolkan dengan \(A^{T}\).
Contoh Transpose Matriks
Contoh 1
\(A=\left[\begin{matrix}2&4&6\\3&2&1\\5&9&4\end{matrix}\right]\)
transpose dari matriks \(A \hspace{1mm}\Rightarrow
A^{T}=\left[\begin{matrix}2&3&5\\4&2&9\\6&1&4\end{matrix}\right]\).
Contoh 2
\(B=\left[\begin{matrix}3&2&5\\2&5&6\\5&6&7\end{matrix}\right]\)
transpose dari matriks \(B \hspace{1mm}\Rightarrow
B^{T}=\left[\begin{matrix}3&2&5\\2&5&6\\5&6&7\end{matrix}\right]\).
Penjelasan Tambahan :
Pada contoh 2 matriks \(B\) dan \(B^{T}\) memiliki elemen yang sama. Kasus
ini dinamakan matriks simetris karena \(B=B^{T}\).
Kesamaan Dua Matriks
Kesamaan dua matriks yaitu dua matriks yang memiliki ordo dan
elemen-elemen seletak yang sama. Contoh kesamaan dua matriks seperti di
bawah ini :
Diketahui matriks
\(A=\left[\begin{matrix}1&2\\3&7^{2}\end{matrix}\right]\) dan
matriks
\(B=\left[\begin{matrix}tan\frac{\pi}{4}&2\\\sqrt{9}&49\end{matrix}\right]\)
Penjelasan :
Nilai \(1\) sama dengan nilai \(tan\frac{\pi}{4}\) karena nilai dari
\(tan\hspace{1mm}30^{\circ}\) adalah \(1\). Begitu juga dengan
\(3=\sqrt{9}\) dan \(7^{2}=49\).
Operasi Matriks
Dalam matriks, ada banyak operasi yang bisa dilakukan. Beberapa operasi
telah kita kenal sebelumnya, jenis-jenis operasi matriks lainnya yang berkaitan, yaitu :
- Operasi penjumlahan matriks
- Operasi pengurangan matriks
- Operasi perkalian skalar dengan matriks
- Operasi perkalian matriks dengan matriks
Operasi Penjumlahan Matriks
Cara menjumlahkan dua matriks atau lebih yaitu dengan menjumlahkan
elemen atau entri yang seletak. Perlu diingat! kedua matriks bisa
dijumlahkan apabila memiliki baris dan kolom yang sama.
Biar lebih jelas
perhatikan contoh di bawah ini:
Contoh penjumlahan matriks
\(\left(\begin{matrix}2&8\\1&9\\3&8\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}5&2\\3&4\\7&6\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&10\\4&13\\10&14\end{matrix}\right)\)
Operasi Pengurangan Matriks
Cara melakukan pengurangan matriks sama aja dengan penjumlahan matriks
yaitu dengan mengoperasikan yang posisinya sama atau seletak. Pengurangan matriks juga hanya dapat dilakukan apabila memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.
Untuk lebih
jelas perhatikan contoh di bawah ini.
Contoh pengurangan matriks
\(\left(\begin{matrix}2&8\\1&-9\\3&-8\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\\7&-6\end{matrix}\right)\\=\left(\begin{matrix}-3&6\\-2&-5\\-4&-2\end{matrix}\right)\)
Operasi Perkalian Skalar dengan Matriks
Dalam operasi matriks, skalar dapat kita maknai sebagai sembarang nilai
bilangan real.
Notasi dari perkalian matriks dengan skalar adalah :
Contoh perkalian skalar dengan matriks
Jika
\(B=\left(\begin{matrix}2&3&-4\\7&6&0\end{matrix}\right)\)
tentukan matriks \(4B\)
Pembahasan
\(4B=
4\left(\begin{matrix}2&3&-4\\7&6&0\end{matrix}\right)\)
\(4B=
\left(\begin{matrix}8&12&-16\\28&24&0\end{matrix}\right)\)
Operasi Perkalian Matriks dengan Matriks
Misal diketahui matriks \(A_{m\times n}\) dan matriks \(B_{n\times p}\).
Perkalian matriks \(A\) dan \(B\) akan menghasilkan matriks baru yang
berordo \(m\times p\).
Gampangnya perkalian matriks dengan matriks dapat
dilakukan apabila jumlah kolom dan baris antara kedua matriks sama.
Jadi,
ditulis \(A_{m\times n}\times B_{n\times p}=(AB)_{m\times p}\). Untuk
lebih jelasnya perhatikan contoh di bawah ini.
Contoh perkalian matriks dengan matriks
Jika matriks
\(A=\left(\begin{matrix}4&2\\3&7\\0&2\end{matrix}\right)\) dan
\(B=\left(\begin{matrix}-1&0&1\\5&4&2\end{matrix}\right)\)
dan \(C=A\times B\). Tentukan matriks \(C\)...
Pembahasan
Ordo matriks \(A\) adalah \(3\times2\) dan ordo matriks \(B\) adalah \(2\times3\). Karena matriks \(A\) memiliki \(2\) kolom dan matriks \(B\) memiliki \(2\) baris, maka kedua matriks tersebut dapat dilakukan operasi perkalian matriks dengan matriks sesuai \(A_{3\times 2}\times B_{2\times 3}=(AB)_{3\times 3}\).
Cara melakukan perkalian matriks dengan matriks yaitu mangalikan baris dari matriks \(A\) dengan kolom matriks \(B\).
\(C=A\times B\)
\(C=\left(\begin{matrix}4&2\\3&7\\0&2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}-1&0&1\\5&4&2\end{matrix}\right)\)
\(C=\left(\begin{matrix}-4+10&0+8&4+4\\-3+35&0+28&3+14\\0+10&0+8&0+4\end{matrix}\right)\)
\(C=\left(\begin{matrix}6&8&8\\32&28&17\\10&8&4\end{matrix}\right)\)
Determinan Matriks
Salah satu tanda pengenal dari suatu matriks adalah determinannya. Definisi dari determinan sendiri yaitu suatu faktor yang menentukan (determine) sesuatu.
Dalam matriks, determinan ini sendiri berupa suatu bilangan yang dihitung untuk suatu matriks persegi atau gampangnya determinan matriks itu hanya terdapat pada matriks persegi.
Determinan matriks dapat ditulis seperti gambar di bawah ini :
Determinan Matriks Berordo \(2\times2\)
Cara menghitung determinan matriks ordo \(2\times2\) yaitu hasil kali diagonal utama dikurangi dengan hasil kali diagonal sekunder.
Jika \(A=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\) maka det\(A=\left|A\right|=ad-bc\).
Contoh determinan matriks ordo \(2\times2\)
Diketahui \(A=\left(\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}\right)\). Tentukan determinan dari matriks \(A\) ....
Pembahasan
\(\left|A\right|=(4\times8)-(5\times7)\)
\(\left|A\right|=32-35\)
\(\left|A\right|=-3\)
Determinan Matriks Berordo \(3\times3\)
Cara menghitung determinan matriks ordo \(3\times3\) ada dua cara.
Yang pertama menggunakan metode sarrus dan yang kedua menggunakan metode kofaktor atau ekspansi laplace.
Cara menghitung determinan matriks ordo 3x3 menggunakan metode sarrus
Misal diketahui matriks \(B=\left(\begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{matrix}\right)\) maka cara mencari determinan matriksnya dengan menggunakan metode sarrus seperti di bawah ini :
Langkah 1
Tambahkan dua kolom yaitu kolom \(1\) dan kolom \(2\) di samping matriks \(B\).
\(\left|B\right|=\left|\begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{matrix}\right|\begin{matrix}a&b\\d&e\\g&h\end{matrix}\)
Langkah 2
Selanjutnya, hasil penjumlahan dari perkalian semua diagonal utama dikurangi dengan semua penjumlahan dari perkalian semua diagonal sekunder.
\(=aei+bfg+cdh-(ceg+afh+bdi)\)
Cara menghitung determinan matriks ordo 3x3 menggunakan metode kofaktor
Cara mudah menentukan determinan matriks ordo \(3\times3\) dengan menggunakan metode kofaktor atau ekspansi laplace, caranya seperti di bawah ini.
Misal diketahui ada matriks \(C\) lalu tentukan determinannya menggunakan metode kofaktor...
\(C=\left[\begin{matrix}3&6&9\\1&3&0\\6&2&1\end{matrix}\right]\)
Langkah 1
Kalian buat tanda \(+\) dan \(-\) selang seling pada setiap elemen matriks seperti di bawah ini :
\(C=\left[\begin{matrix}\overset{+}{3}&\overset{-}{6}&\overset{+}{9}\\\overset{-}{1}&\overset{+}{3}&\overset{-}{0}\\\overset{+}{6}&\overset{-}{2}&\overset{+}{1}\end{matrix}\right]\)
Tambahan informasi, tanda \(+\) dan \(-\) digunakan sebagai operasi perkalian terhadap elemen\entri pada baris atau kolom yang dipilih untuk menjadi angka acuan di depan matriks ordo \(2\times2\).
Langkah 2
Selanjutnya tentukan baris atau kolom manapun dengan bebas sesuka hati tanpa ada paksaan dan aturan.
Baris atau kolom yang sudah dipilih akan digunakan sebagai angka di depan matriks ordo \(2\times2\). Lebih jelasnya perhatikan penjelasan di bawah ini.
Perlu diketahui ekspansi ini memecah matriks menjadi ordo \(2\times2\), jika saya memilih baris pertama untuk digunakan sebagai angka di depan matriks ordo \(2\times2\) maka akan diperoleh untuk matriks ordo \(2\times2\) nya seperti gambar di bawah ini :
\(C=3\left[\begin{matrix}3&0\\2&1\end{matrix}\right]-6\left[\begin{matrix}1&0\\6&1\end{matrix}\right]+9\left[\begin{matrix}1&3\\6&2\end{matrix}\right]\)
\(C=3(3-0)-6(1-0)+9(2-18)\)
\(C=3(3)-6(1)+9(-16)\)
\(C=9-6-144\)
\(C=-141\)
Jadi determinan dari matriks \(C\) adalah \(-141\). Agar lebih yakin kalian bisa mencoba menghitung determinan dari matriks \(C\) dengan menggunakan metode sarrus pasti hasilnya sama saja.
Contoh determinan matriks ordo \(3\times3\)
Tentukan determinan dari matriks ordo \(3\times3\) di bawah ini :
\(D=\left[\begin{matrix}1&-2&3\\5&2&3\\4&1&0\end{matrix}\right]\)
Pembahasan
Metode sarrus
\(D = (1\times2\times0) + (-2\times3\times4)\\+(3\times5\times1)-(3\times2\times4)\\-(1\times3\times1)-(-2\times5\times0)\)
\(D = 0 -24+15-24-3-0\)
\(D = 15-51\)
\(D=-36\)
Metode Kofaktor
\(D=\left[\begin{matrix}\overset{+}{1}&\overset{-}{-2}&\overset{+}{3}\\\overset{-}{5}&\overset{+}{2}&\overset{-}{3}\\\overset{+}{4}&\overset{-}{1}&\overset{+}{0}\end{matrix}\right]\)
Langkah 1
Saya menggunakan baris pertama sebagai angka acuan atau angka di depan matriks ordo \(2\times2\). Maka diperoleh angka acuannya yaitu \(1,-2\) dan \(3\).
Langkah 2
Karena sudah ada contoh sebelumnya mengenai cara mencari determinan ordo \(3\times3\) menggunakan metode kofaktor maka sekarang saya tidak menjelaskan tahapannya, disini saya akan langsung menghitungnya saja.
\(D=1\left|\begin{matrix}2&3\\1&0\end{matrix}\right|-(-2)\left|\begin{matrix}5&3\\4&0\end{matrix}\right|+3\left|\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right|\)
\(D=1(0-3)+2(0-12)+3(5-8)\)
\(D=1(-3)+2(-12)+3(-3)\)
\(D=-3-24-9\)
\(D=-36\)
Jadi determinan dari matriks \(D\) dengan menggunakan metode kofaktor adalah \(-36\). Sama saja hasilnya dengan metode sarrus.
Sifat-sifat Determinan Matriks
- \(\left|A^{T}\right|=\left|A\right|\)
- \(\left|A^{-1}\right|=\frac{1}{\left|A\right|}\)
- \(\left|AB\right|=\left|A\right|.\left|B\right|\)
- \(\left|A^{n}\right|=\left|A\right|^{n}\)
- \(\left|k.A\right|=k^{n}.\left|A\right|\) dengan \(n\) adalah ordo matriks
Minor, Kofaktor, dan Adjoin Matriks
Materi minor, kofaktor dan adjoin matriks memiliki keterkaitan antara satu dengan yang lainnya atau saling berhubungan.
Jadi kalian harus paham materi minor matriks sebelum mempelajari materi kofaktor matriks agar memudahkan kalian dalam mempelajari materi adjoin matriks.
Materi ini dipake untuk mencari invers matriks dan determinan matriks khusunya minor dan kofaktor.
Minor Matriks
Jika \(a_{ij}\) adalah elemen matriks \(A\) yang terletak pada baris ke\(-i\) dan kolom ke \(-j\), maka minor dari \(a_{ij}\) yang dinyatakan oleh \(M_{ij}\) adalah determinan/bilangan tunggal setelah baris ke\(-i\) dan kolom ke\(-j\) di hilangkan.
Contoh minor matriks
Tentukan minor dari matriks ordo \(2\times2\) dan ordo \(3\times3\) di bawah ini :
Matriks \(A=\left[\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right]\) dan matriks \(B=\left[\begin{matrix}2&3&2\\3&4&3\\1&5&6\end{matrix}\right]\)......
Pembahasan
1. Mencari minor dari matriks \(A\)
Perlu diketahui karena matriks \(A\) adalah matriks ordo \(2\times2\), jadi setelah baris ke\(-i\) dan kolom ke\(-j\) dihilangkan maka yang tersisa hanya bilangan tunggal.
\(M_{11}=4\)
\(M_{21}=2\)
\(M_{22}=1\)Jadi minor dari matriks \(A\) adalah \(M_{A}=\left[\begin{matrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}4&3\\2&1\end{matrix}\right]\)
Karena matriks \(B\) adalah ordo \(3\times3\) jadi setelah salah satu baris dan kolomnya dihilangkan maka yang tersisa adalah matriks ordo \(2\times2\).
Jadi untuk mendapatkan minor dari matriks \(B\) maka kalian perlu mencari nilai determinan dari matriks ordo \(2\times2\).
\(M_{11}=\left|\begin{matrix}4&3\\5&6\end{matrix}\right|=24-15=9\)\(M_{12}=\left|\begin{matrix}3&3\\1&6\end{matrix}\right|=18-3=15\)\(M_{13}=\left|\begin{matrix}3&4\\1&5\end{matrix}\right|=15-4=11\)\(M_{21}=\left|\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right|=18-10=8\)\(M_{22}=\left|\begin{matrix}2&2\\1&6\end{matrix}\right|=12-2=10\)\(M_{23}=\left|\begin{matrix}2&3\\1&5\end{matrix}\right|=10-3=7\)
\(M_{31}=\left|\begin{matrix}3&2\\4&3\end{matrix}\right|=9-8=1\)\(M_{32}=\left|\begin{matrix}2&2\\3&3\end{matrix}\right|=6-6=0\)\(M_{33}=\left|\begin{matrix}3&2\\4&3\end{matrix}\right|=8-9=-1\)
Jadi minor matriks \(B\) adalah \(M_B=\left[\begin{matrix}M_{11}&M_{12}&M_{13}\\M_{21}&M_{22}&M_{23}\\M_{31}&M_{32}&M_{33}\end{matrix}\right]\\=\left[\begin{matrix}9&15&11\\8&10&7\\1&0&-1\end{matrix}\right]\)
Kofaktor Matriks
Jika \(A\) adalah matriks, \(M_{ij}\) adalah minor elemen matriks \(A\) pada baris ke-\(i\) dan kolom ke-\(j\).
Maka kofaktor \(a_{ij}\) yang dinyatakan \(K_{ij}\) adalah minor \(M_{ij}\) setelah diberi \((-1)^{i+j}\).
\[K_{ij}=(-1)^{i+j}.M_{ij}\]
Untuk menentukan kofaktor dari suatu matriks kalian harus mencari minor dari matriksnya terlebih dahulu. Kofaktor hanya perkalian tanda \(+\) atau \(-\) dengan minor elemen matriks.
Contoh Kofaktor Matriks
Tentukan kofaktor dari matriks \(B=\left[\begin{matrix}2&3&2\\3&4&3\\1&5&6\end{matrix}\right]\) adalah...
Pembahasan
Karena matriks \(B\) sudah dicari minornya pada contoh minor matriks, selanjutnya kalian hanya tinggal memberi tanda \(+\) dan \(-\) selang seling.
Maka diperoleh kofaktor dari matriks \(B\) seperti di bawah ini.
\(K_B=\left[\begin{matrix}9&-15&11\\-8&10&-7\\1&0&-1\end{matrix}\right]\)
Pemberian tanda \(+\) dan \(-\) tersebut diperoleh dari rumus di bawah ini.
\(K_{11}=(-1)^{1+1}.M_{11}\)
\(K_{11}=(-1)^{2}.9\)
\(K_{11}=9\)
\(K_{12}=(-1)^{1+2}.M_{12}\)
\(K_{12}=(-1)^{3}.15\)
\(K_{12}=-15\)
\(K_{13}=(-1)^{1+3}.M_{13}\)
\(K_{13}=(-1)^{4}.11\)
\(K_{13}=11\)
\(K_{21}=(-1)^{2+1}.M_{21}\)
\(K_{21}=(-1)^{3}.8\)
\(K_{21}=-8\)
\(K_{22}=(-1)^{2+2}.M_{22}\)
\(K_{22}=(-1)^{4}.10\)
\(K_{22}=10\)
\(K_{23}=(-1)^{2+1}.M_{23}\)
\(K_{23}=(-1)^{3}.7\)
\(K_{23}=-7\)
\(K_{31}=(-1)^{3+1}.M_{31}\)
\(K_{31}=(-1)^{4}.1\)
\(K_{31}=1\)
\(K_{32}=(-1)^{3+2}.M_{32}\)
\(K_{32}=(-1)^{5}.0\)
\(K_{32}=0\)
\(K_{33}=(-1)^{3+3}.M_{33}\)
\(K_{33}=(-1)^{6}.-1\)
\(K_{33}=-1\)
Adjoin Matriks
Cara mencari adjoin matriks yaitu dengan mentrasposkan kofaktor dari matriks tersebut.
\[Adj(A)=(kof(A))^{T}\]
Contoh adjoin matriks
Tentukan adjoin dari matriks \(B=\left[\begin{matrix}2&3&2\\3&4&3\\1&5&6\end{matrix}\right]\).....
Pembahasan
Karena matriks \(B\) sudah didapatkan kofaktornya maka selanjutnya tinggal transposekan saja.
\(K_B=\left[\begin{matrix}9&-15&11\\-8&10&-7\\1&0&-1\end{matrix}\right]\)
\((K_B)^{T}=\left[\begin{matrix}9&-8&1\\-15&10&0\\11&-7&-1\end{matrix}\right]\)
Invers Matriks
Invers matriks adalah dua matriks persegi yang berordo sama dan saling invers atau berkebalikan jika memenuhi hubungan \(AB=BA=I \). Simbol dari invers matriks adalah pangkat \(-1\) di atas hurufnya.
Rumus invers matriks :
\[A^{-1}=\frac{1}{det(A)}. Adj (A)\]
Sifat-sifat Invers Matriks
- \(AB=C\leftrightarrow A=CB^{-1}\)
- \(AB=C\leftrightarrow B=A^{-1}C\)
- \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\)
- \((A^{-1})^{-1}=A\)
- \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
Invers Matriks 2x2
Tentukan invers dari matriks \(A=\left[\begin{matrix}2&4\\1&3\end{matrix}\right]\) adalah...
Pembahasan
Mencari adjoin matriks \(A\)
Misal diketahui matriks ordo 2x2, \(X=\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right]\) maka adjoinnya adalah \(Adj(X)=\left[\begin{matrix}d&-b\\-c&a\end{matrix}\right]\).
Maka adjoin dari matriks \(A\) adalah \(Adj(A)=\left[\begin{matrix}3&-4\\-1&2\end{matrix}\right]\)
Mencari determinan matriks \(A\)
\(\left|A\right|= (2\times3)-(4\times1)\)
\(\left|A\right|= 6-4=2\)
Mencari invers matriks \(A\)
\(A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}3&-4\\-1&2\end{matrix}\right]\)
\(A^{-1}=\left[\begin{matrix}\frac{3}{2}&-2\\\frac{-1}{2}&1\end{matrix}\right]\)
Invers Matriks 3x3
Diketahui matriks \(A=\left[\begin{matrix}3&2&1\\4&-2&5\\3&3&1\end{matrix}\right]\). Tentukan invers matriks \(A\).....
Pembahasan
Cara menyelesaikan matriks \(A\) invers ordo \(3\times3\).
- Mencari determinan
\(A=\left[\begin{matrix}3&2&1\\4&-2&5\\3&3&1\end{matrix}\right]\)
\(\left|A\right|=3\left[\begin{matrix}-2&5\\3&1\end{matrix}\right]-2\left[\begin{matrix}4&5\\3&1\end{matrix}\right]\\+1\left[\begin{matrix}4&-2\\3&3\end{matrix}\right]\)
\(\left|A\right|=3(-2-15)-2(4-15)\\+1(12-(-6))\)
\(\left|A\right|=3(-17)-2(-11)+1(18)\)
\(\left|A\right|=-51+22+1(18)\)
\(\left|A\right|=-11\)
- Mencari adjoin matriks
Minor matriks \(A\)
\(M_{11}=-17 \hspace{5mm}M_{12}=-11\hspace{5mm}M_{13}=18\)
\(M_{21}=-1\hspace{5mm}M_{22}=0\hspace{5mm}M_{23}=3\)
\(M_{31}=12\hspace{5mm}M_{32}=11\hspace{5mm}M_{33}=-14\)
Kofaktor matriks \(A\)
\(D=\left[\begin{matrix}\overset{+}{-17}&\overset{-}{-11}&\overset{+}{18}\\\overset{-}{-1}&\overset{+}{0}&\overset{-}{3}\\\overset{+}{12}&\overset{-}{11}&\overset{+}{-14}\end{matrix}\right]\\=\left[\begin{matrix}-17&11&18\\1&0&-3\\12&-11&-14\end{matrix}\right]\)
Adjoin matriks \(A\)
Adjoin = Transpose dari kofaktor, jadi untuk mencari adjoin tinggal transposekan kofaktor matriks \(A\)
\((kof(A))^{T}=\left[\begin{matrix}-17&1&12\\11&0&-11\\18&-3&-14\end{matrix}\right]\)
- Invers matriks \(A\)
\(A^{-1}=\frac{1}{Determinan}\hspace{1mm}Adjoin\)
\(A^{-1}=\frac{1}{-11}\left[\begin{matrix}-17&1&12\\11&0&-11\\18&-3&-14\end{matrix}\right]\)
Contoh Soal Matriks
Soal 1
Diketahui persamaan matriks
\(3\left(\begin{matrix}4&1\\6&b\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}3a&5\\1&4\end{matrix}\right)\\=\left(\begin{matrix}2&1\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3&2\\1&4\end{matrix}\right)\)
Nilai dari \(3a+3b\) adalah....
Pembahasan
\(\left(\begin{matrix}12&3\\18&3b\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}3a&5\\1&4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&8\\19&26\end{matrix}\right)\)
Diperoleh persamaan matriks :
\(12+3a=7\)
\(3a=7-12=-5\)
\(3b+4=26\)
\(3b=26-4=22\)
\(3a+3b=-5+22=17\)
Soal 2
Diketahui matriks \(A=\left(\begin{matrix}4&3\\2&2\end{matrix}\right)\), \(B=\left(\begin{matrix}-5&4\\-2&4\end{matrix}\right)\), jika \(AX=B\). Tentukan matriks \(X\).....
Pembahasan
\(AX=B\)
\(X=A^{-1}B\)
\(A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}2&-3\\-2&4\end{matrix}\right]\)
\(A^{-1}=\left[\begin{matrix}1&\frac{-3}{2}\\-1&2\end{matrix}\right]\)
\(X=A^{-1}B\)
\(X=\left[\begin{matrix}1&\frac{-3}{2}\\-1&2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}-5&4\\-2&4\end{matrix}\right]\)
\(X=\left[\begin{matrix}-2&-2\\1&4\end{matrix}\right]\)
Penutup
Sekian pembahasan materi matriks matematika, apabila ada yang tidak jelas silahkan ditanyakan.