Rumus ABC yaitu sebuah rumus yang biasanya digunakan untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat yang akarnya tidak bisa dicari dengan pemfaktoran dan kuadrat sempurna.

alvininfo.com - Hello everybody! Kembali lagi bersama admin ganteng alvininfo.com, pada kali ini saya akan membahas rumus ABC di artikel ini. Kalian mungkin udah ngga asing mendengar kalimat rumus ABC atau sering juga disebut dengan rumus kecap ini di telinga kalian. Rumus ABC ini sudah sangat familiar di kalangan siswa Sekolah Menengah Atas (SMA). 

Asal Usul Rumus ABC


Al-khwarizmi dikenal sebagai bapak aljabar, beliau juga terkenal karena keberhasilannya menemukan rumus ABC untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat. Rumus tersebut pertama kali muncul dalam buku karyanya yang terkenal, yaitu kitab Al Mukhtasar fii Hisan Aljabar wal Muqabbala. Buku karyanya tersebut merupakan buku aljabar pertama yang dibuat matematikawan yang pernah lahir di muka bumi pada saat itu.

Rumus ABC yaitu sebuah rumus yang biasanya digunakan untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat yang akarnya tidak bisa dicari dengan pemfaktoran dan kuadrat sempurna. Rumus ABC tidak datang dengan begitu saja tetapi rumus ABC ini diperoleh dari bentuk umum persamaan kuadrat \(ax^{2}+bx+c=0,\) dimana \(a\neq0\) dengan cara melengkapi kuadrat sempurna. 

Sebenarnya penyebutan rumus ini disebut dengan rumus ABC tidaklah tepat! Namun sudah terlanjur populer di negara +62. Bahkan populer juga di Negeri Kincir Angin loh. Sebutan yang benar untuk rumus ini adalah rumus kuadrat. Yaaa benar karena rumus ini diperoleh dari persamaan kuadrat.  Kenapa penyebutan rumus ABC tidak tepat ? Mudah saja untuk menjawabnya. 

Bila kita mempunyai persamaan kuadrat lalu ditulis dengan \(px^{2}+qx+r=0\). Apakah masih tepat disebut dengan rumus ABC ? Tentu saja tidak. Namun demikian, bebas saja untuk menyebutnya. Mau disebut dengan sebutan rumus ABC, PQR, rumus kuadrat, atau rumus kecap. Yang penting adalah kita paham dalam menggunakannya.

Pembuktian Rumus ABC Persamaan Kuadrat 


Bentuk umum persamaan kuadrat : \[ax^{2}+bx+c=0, \hspace{5mm} a\neq 0\]

Berikut langkah-langkah untuk pembuktian rumus ABC persamaan kuadrat :

\(ax^{2}+bx+c=0\hspace{10mm}\)
\(\times4a\)
\(4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0 \hspace{10mm}\) 
pindah ruaskan \(4ac\)
\(4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac \hspace{10mm} \) 
tambah \(b^{2}\) pada kedua ruas
\(4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac\)
ubah bentuk
\((2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\)
akarkan
\(2ax+b=\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\)
pindah ruaskan \(b\)
\(2ax=-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\)
bagi \(2a\)
\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
selesai deh..


Rumus ABC

Rumus ABC yaitu sebuah rumus yang biasanya digunakan untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat yang akarnya tidak bisa dicari dengan pemfaktoran dan kuadrat sempurna.
Selain menyelesaikan persamaan kuadrat, bagian rumus ABC dapat menentukan banyaknya himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat. Apa bagian itu ? Bagian yang dimaksud adalah diskriminan \(b^{2}-4ac\) atau biasa dikenal dengan simbol \(D\).

  • Jika \(D\) positif maka terdapat dua buah himpunan penyelesaian.
  • Jika \(D=0\) maka terdapat satu buah himpunan penyelesaian.
  • Jika \(D\) negatif maka tidak ada himpunan penyelesaian.
Jika kita mendapatkan soal dengan pertanyaan menentukan banyaknya himpunan penyelesaian, maka tidak perlu kita memfaktorkan persamaan tersebut. Cukup kita tentukan nilai diskriminannya \((D)\).


Selesaikan Persamaan Kuadrat Berikut dengan Rumus ABC


Ada 10 soal persamaan kuadrat di bawah ini yang akar-akarnya bisa dicari menggunakan pemfaktoran tetapi pada kali ini saya mencari himpunan penyelesaian atau akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut menggunakan rumus abc sesuai dengan judul artikel ini.

Soal Nomor 1


Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat \(2x^{2}+5x-3=0\) dengan menggunakan rumus abc....

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat  \(2x^{2}+5x-3=0\) diperoleh nilai \(a=2\), \(b=5\) dan \(c=-3\). Selanjutnya substitusikan ke rumus ABC, maka diperoleh seperti di bawah ini :

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

\(x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4(2)(-3)}}{2(2)}\)

\(x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{25+24}}{4}\)

\(x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{4}\)

\(x_1=\frac{-5+\sqrt{49}}{4}=\frac{1}{2}\)

\(x_2=\frac{-5-\sqrt{49}}{4}=-3\)

Soal Nomor 2


Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat \(x^{2}+7x+6=0\) dengan menggunakan rumus abc....

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat  \(x^{2}+7x+6=0\) diperoleh nilai \(a=1\), \(b=7\) dan \(c=6\). Selanjutnya substitusikan ke rumus ABC, maka diperoleh seperti di bawah ini :

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

\(x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{7^{2}-4(1)(6)}}{2(1)}\)

\(x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{49-24}}{2}\)

\(x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{25}}{2}\)

\(x_1=\frac{-7+\sqrt{25}}{2}=-1\)

\(x_2=\frac{-7-\sqrt{25}}{2}=-6\)

Soal Nomor 3


Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat \(x^{2}+15x+56=0\) dengan menggunakan rumus abc....

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat  \(x^{2}+15x+56=0\) diperoleh nilai \(a=1\), \(b=15\) dan \(c=56\). Selanjutnya substitusikan ke rumus ABC, maka diperoleh seperti di bawah ini :

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

\(x_{1,2}=\frac{-15\pm\sqrt{15^{2}-4(1)(56)}}{2(1)}\)

\(x_{1,2}=\frac{-15\pm\sqrt{225-224}}{2}\)

\(x_{1,2}=\frac{-15\pm\sqrt{1}}{2}\)

\(x_1=\frac{-15+\sqrt{1}}{2}=-7\)

\(x_2=\frac{-15-\sqrt{1}}{2}=-8\)

Soal Nomor 4


Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat \(2x^{2}-4x+2=0\) dengan menggunakan rumus abc....

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat  \(2x^{2}-4x+2=0\) diperoleh nilai \(a=2\), \(b=-4\) dan \(c=2\). Selanjutnya substitusikan ke rumus ABC, maka diperoleh seperti di bawah ini :

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

\(x_{1,2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4(2)(2)}}{2(2)}\)

\(x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16-16}}{4}\)

\(x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{0}}{4}\)

\(x_1=\frac{4+\sqrt{0}}{4}=1\)

\(x_2=\frac{4-\sqrt{0}}{4}=1\)

Soal Nomor 5


Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat \(x^{2}+x-12=0\) dengan menggunakan rumus abc....

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat  \(x^{2}+x-12=0\) diperoleh nilai \(a=1\), \(b=1\) dan \(c=-12\). Selanjutnya substitusikan ke rumus ABC, maka diperoleh seperti di bawah ini :

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

\(x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4(1)(-12)}}{2(1)}\)

\(x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+48}}{2}\)

\(x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+48}}{2}\)

\(x_1=\frac{-1+\sqrt{49}}{2}=3\)

\(x_2=\frac{-1-\sqrt{49}}{2}=-4\)

Soal Nomor 6


Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat \(x^{2}-15x+50=0\) dengan menggunakan rumus abc....

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat  \(x^{2}-15x+50=0\) diperoleh nilai \(a=1\), \(b=-15\) dan \(c=50\). Selanjutnya substitusikan ke rumus ABC, maka diperoleh seperti di bawah ini :

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

\(x_{1,2}=\frac{-(-15)\pm\sqrt{(-15)^{2}-4(1)(50)}}{2(1)}\)

\(x_{1,2}=\frac{15\pm\sqrt{225-200}}{2}\)

\(x_{1,2}=\frac{15\pm\sqrt{25}}{2}\)

\(x_1=\frac{15+\sqrt{25}}{2}=10\)

\(x_2=\frac{15-\sqrt{25}}{2}=5\)

Soal Nomor 7


Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat \(2x^{2}+17x+21=0\) dengan menggunakan rumus abc....

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat  \(2x^{2}+17x+21=0\) diperoleh nilai \(a=2\), \(b=17\) dan \(c=21\). Selanjutnya substitusikan ke rumus ABC, maka diperoleh seperti di bawah ini :

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

\(x_{1,2}=\frac{-17\pm\sqrt{17^{2}-4(2)(21)}}{2(2)}\)

\(x_{1,2}=\frac{-17\pm\sqrt{289-168}}{4}\)

\(x_{1,2}=\frac{-17\pm\sqrt{121}}{4}\)

\(x_1=\frac{-17+\sqrt{121}}{4}=-\frac{3}{2}\)

\(x_2=\frac{-17-\sqrt{121}}{4}=-7\)

Soal Nomor 8


Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat \(6x^{2}-19x+15=0\) dengan menggunakan rumus abc....

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat  \(6x^{2}-19x+15=0\) diperoleh nilai \(a=6\), \(b=-19\) dan \(c=15\). Selanjutnya substitusikan ke rumus ABC, maka diperoleh seperti di bawah ini :

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

\(x_{1,2}=\frac{-(-19)\pm\sqrt{(-19)^{2}-4(6)(15)}}{2(6)}\)

\(x_{1,2}=\frac{19\pm\sqrt{361-360}}{12}\)

\(x_{1,2}=\frac{19\pm\sqrt{1}}{12}\)

\(x_1=\frac{19+\sqrt{1}}{12}=\frac{5}{3}\)

\(x_2=\frac{19-\sqrt{1}}{12}=\frac{6}{4}\)

Soal Nomor 9


Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat \(x^{2}-81=0\) dengan menggunakan rumus abc....

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat  \(x^{2}-81=0\) diperoleh nilai \(a=1\), \(b=0\) dan \(c=-81\). Selanjutnya substitusikan ke rumus ABC, maka diperoleh seperti di bawah ini :

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

\(x_{1,2}=\frac{-(0)\pm\sqrt{(0)^{2}-4(1)(-81)}}{2(1)}\)

\(x_{1,2}=\frac{0\pm\sqrt{0+324}}{2}\)

\(x_{1,2}=\frac{0\pm\sqrt{324}}{2}\)

\(x_1=\frac{0+18}{2}=9\)

\(x_2=\frac{0-18}{2}=-9\)

Soal Nomor 10


Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat \(x^{2}-5x=0\) dengan menggunakan rumus abc....

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat  \(x^{2}-5x=0\) diperoleh nilai \(a=1\), \(b=-5\) dan \(c=0\). Selanjutnya substitusikan ke rumus ABC, maka diperoleh seperti di bawah ini :

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

\(x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4(1)(0)}}{2(1)}\)

\(x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25}}{2}\)

\(x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25}}{2}\)

\(x_1=\frac{5+5}{2}=5\)

\(x_2=\frac{5-5}{2}=0\)

Penutup


Sekian pembahasan mengenai rumus ABC, apabila ada yang tidak jelas silahkan ditanyakan agar saya koreksi kembali. Jangan lupa share ke teman-temannya. Terimakasih.....