Soal dan Pembahasannya


alvininfo.com - Untuk bisa bersaing dalam mengikuti lomba Olimpiade Sains yang diselenggarakan oleh pemerintah baik itu tingkat nasional, provinsi atau kabupaten tentu harus memiliki persiapan yang baik dari segi pembelajaran materi. Kali ini saya akan membahas contoh soal OSN matematika tingkat SMA tahun sebelumnya. Semoga bisa jadi bahan pembelajaran dan referensi agar kalian bisa lebih menguasai materi.


Contoh Soal OSN Matematika SMA dan Pembahasannya


1. Misalkan \(a,b\) adalah bilangan riil sedemikian sehingga \(a+b=\frac1a+\frac1b=6\). Nilai dari \(\frac ab+\frac ba+1980\) adalah... (OSK Matematika 2014)

Pembahasan

Diketahui :
  • \(a+b=6\) Persamaan 1
  • \(\frac1a+\frac1b=6\) Persamaan 2
Hasil operasi persamaan 1 dan 2 diperoleh \(a+b=6ab\) dan \(ab=1\) 

\(\frac ab+\frac ba+1980=\)

\(\frac {a^{2}+b^{2}}{ab}+1980=\)

\(\frac {(a+b)^{2}-2ab}{ab}+1980=\)

\(\frac {(6ab)^{2}-2ab}{ab}+1980=\)

\(\frac {36a^{2}b^{2}-2ab}{ab}+1980=\)

\(\frac {ab(36ab-2)}{ab}+1980=\)

\((36ab-2)+1980=\)

\(36-2+1980=2014\)

2. Hasil kali semua akar real dari persamaan \(2x^{2}+3x+4=2\sqrt {2x^{2}+3x+12}\) adalah....(OSK Matematika 2014)


Pembahasan

Misal : \(2x^{2}+3x+12=x\)
Ditanya : Hasil kali akar real dari persamaan  \((x1x2)\) ?

\(x-8=2\sqrt{x}\)

\((x-8)^{2}=(2\sqrt{x})^{2}\)

\(x^{2}-16x-64=4x\)

\(x^{2}-20x-64=0\)

\( (x-16) (x-4) = 0\)

\( (2x^{2}+3x+12-16) (2x^{2}+3x+12-4) \)

\( (2x^{2}+3x-4) (2x^{2}+3x+8) = 0  \)


Selanjutnya cek akar persamaan tersebut menggunakan diskriminan, karena akar dari persamaan \(2x^{2}+3x+4=2\sqrt {2x^{2}+3x+12}\) adalah real maka diskriminannya harus \( D \geq 0 \). Akar dari persamaan tersebut yang memiliki \( D \geq 0 \) adalah \( (2x^{2}+3x-4)\) sedangkan \( (2x^{2}+3x+8)\) imajiner karena \( D<0\) . Maka \(x1x2\) adalah \(-2\)


3. Jika \(fog(x)=\frac {7x+3} {5x-9}\) dan \( g(x)=2x-4\), maka nilai \(f(2)\) adalah...... (OSK Matematika 2015)

Pembahasan 

Diketahui :
  • \(fog(x)=\frac {7x+3} {5x-9}\)
  • \( g(x)=2x-4\)

Ditanya :
  • nilai \(f(2)\)?

Langkah 1

\(fog(x)=\frac {7x+3} {5x-9}\)

\(f(g(x))=\frac {7x+3} {5x-9}\)

Langkah 2

\(g(x) = 2 \), kenapa \(= 2\) karena kita membutuhkan hasil operasi dari \(2x-4\) yang hasilnya \(2\) agar ketika \(g(x)\) nya diganti/substitusi nilai \(x\) dari \(f(g(x))\) menjadi \(f(2)\) hasilnya sesuai yang diminta atau ditanyakan di soal. 

Lebih lanjut pelajari cara kerjanya dibawah agar lebih mudah memahami.

\( 2x-4=2\)

\(2x=6\)

\(x=3\)

Langkah 3 

Substitusikan \(x=3\) ke \(f(g(x))=\frac {7x+3} {5x-9}\) sebelumnya jangan lupa \(g(x)\) diganti \(2x-4\) seperti dibawah ini :

\(f(2x-4)=\frac {7x+3} {5x-9}\)

\(f(2(3)-4)=\frac {7(3)+3} {5(3)-9}\)

\(f(6-4)=\frac {7(3)+3} {5(3)-9}\)

\(f(2)=\frac {7(3)+3} {5(3)-9}\)

\(f(2)=\frac {7(3)+3} {5(3)-9} = \frac {24} {6} = 4\)

4. Diketahui \(a,b,c\) akar dari persamaan \(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0\). Jika suku banyak \(P(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx-2015\) memenuhi \(P(a)=b+c\), \(P(b)=a+c\), \(P(c)=a+b\), Maka nilai dari \( A+B+C\) adalah..... (OSK Matematika 2015)

Pembahasan

Diketahui :

  • Dari penjumlahan sifat akar eksponen dari persamaan \(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0\) diperoleh \(a+b+c=5\)
  • \(P(a)=b+c=5-a\)
  • \(P(b)=a+c=5-b\)
  • \(P(c)=a+b=5-c\)


Ditanya :

  • Nilai \(A+B+C\) ?

Langkah 1 substitusikan akar-akar \(a,b,c\) ke polinomial  
\(P(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx-2015\)

\( P(a)= Aa^{3}+Ba^{2}+Ca-2015=5-a\)
\( P(a)= Aa^{3}+Ba^{2}+a(C+1)-2020=0\) persamaan 1

\( P(b)= Ab^{3}+Bb^{2}+Cb-2015=5-b\)
\(P(b)= Ab^{3}+Bb^{2}+b(C+1)-2020=0\) persamaan 2

\( P(c)= Ac^{3}+Bc^{2}+Cc-2015=5-c\)
\(P(c)= Ac^{3}+Bc^{2}+c(C+1)-2020=0\) persamaan 3

Kalo kita memperhatikan persamaan 1,2 dan 3. Persamaan tersebut memiliki model yang sama. 

Apabila variabel ketiganya saya ganti menjadi \(x\) maka saya akan mempunyai persamaan polinom \( Ax^{3}+Bx^{2}+x(C+1)-2020=0\)  artinya persamaan ini akan mempunyai \(3\) akar \(a,b,c\). 

Jika akar-akarnya \( x1=a, x2=b, x3=c\) berarti polinom ini sama dengan persamaan \(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0\), karena memiliki akar yang sama maka koefisiennya juga sama. 

Untuk mengetahui apakah koefisiennya sudah sama atau belum kita bisa cek melalui konstantanya. 

Dapat dilihat oleh kalian konstanta persamaan \(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0\) dengan \(Ax^{3}+Bx^2+x(C+1)-2020=0\) berbeda, konstanta yang pertama \(10\) sedangkan yang kedua \(-2020\) karena berbeda kita perlu menyamakannya. 

Agar sama konstanta pertama perlu dikali \(-202\) agar hasilnya \(-2020\). Simak cara kerjanya dibawah ini agar lebih mudah memahami.

\(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0 \times -202\)

 \(-202x^{3}+1010x^{2}+1818x-2020=0\)

Karena untuk konstantanya sudah sama-sama \(-2020\) maka untuk koefisien polinomial \(Ax^{3}+Bx^2+x(C+1)-2020=0\) diperoleh :

\(A=-202\)
\(B=1010\)
\(C + 1=1818\)
\(C=1817\)

Maka \(A+B+C=-202+1010+1818=2625\)


5. Suatu polinom \(P(x)\) memenuhi \(P(x+\frac{2}{x})=\frac{x^{3}+1} {x} + \frac {x^{3}+8} {2x^{2}} + 3\). Nilai dari \(P(1)\) adalah... (OSK Matematika 2020)

Pembahasan

\(P(x+\frac{2}{x})=\frac{x^{3}+1} {x} + \frac {x^{3}+8} {2x^{2}} + 3\)

\(P(x+\frac{2}{x})= x^{2} + \frac{1} {x} + \frac{4} {x^{2}} + \frac{x} {2} + 3 \)

\(P(x+\frac{2}{x})= x^{2}+ 4 + \frac{4} {x^{2}} + \frac{1} {x}  + \frac{x} {2} - 1 \)

\(P(x+\frac{2}{x})= (x+ \frac{2} {x})^{2} + \frac{1} {2}  \times (x + \frac  {2} {x}) - 1 \)

Misal :
  • \((x+\frac{2}{x}) = a\), Maka :

\(P(a)=a^{2}+\frac12 \times a - 1\)

\(P(1)=(1)^{2}+(\frac12 \times 1) - 1\)

\(P(1)=1+\frac 12 -1 = \frac 12\)


6. Misalkan \(a\) adalah bilangan real sehingga polinomial \(P(x)=x^{4}+4x+a\) habis dibagi oleh \( (x-2)^{2} \) untuk suatu bilangan real \(c\). Nilai \(a\) yang memenuhi adalah... (OSK Matematika 2016)


Pembahasan

Diketahui :
  • \(P(x)=x^{4}+4x+a\) habis dibagi oleh \((x-c)^{2}\)
Ditanya:
  • Nilai \(a\) 

Disini saya menggunakan cara horner, untuk cara kerjanya seperti dibawah ini :


Soal dan Pemabahasannya



Diperoleh dari sisa pembagian horner :
  • \(a+4c+c^{4}=0\) Sisa Pembagian 1
  • \(4+4c^{3}=0\) Sisa Pembagian 2
Maka :

\(4+4c^{3}=0\)
\(4c^{3}=-4\)
\(c^{3}=-1\)
\(c=-1\)

Substitusikan \(c=-1\) ke \(a+4c+c^{4}=0\) maka :

\(a+4c+c^{4}=0\)
\(a+4(-1)+(-1)^{4}=0\)
\(a-4+1=0\)
\(a-3=0\)
\(a=3\)

Jadi diperoleh nilai \(a=3\).