Baca Juga : Operasi Hitung Bentuk Aljabar
Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Materi Aljabar
Soal Nomor 1
Diketahui \(x\) dan \(y\) bilangan prima dengan \(x<y\) dan \( x^{3}+y^{3}+2018=30y^{2}-300y+3018\). Nilai \(x\) yang memenuhi adalah.....
Pembahasan
Diketahui :
- \(x\) dan \(y\) bilangan prima
- \(y>x\)
Ditanya:
- Nilai \(x\) yang memenuhi ?
\( x^{3}+y^{3}+2018=\\30y^{2}-300y+3018\)
\(x^{3}=-y^{3}+30y^{2}\\-300y+3018-2018\)
\(x^{3}=-(y^{3}-30y^{2}+300y-1000)\)
\(x^{3}=-(y^{3}-10y^{2}\\-20y^{2}+200y+100y-1000)\)
\(x^{3}=-(y^{2}(y-10)\\-20y(y-10)+100(y-10))\)
\(x^{3}=-((y-10) (y^{2}-20y+100))\)
\(x^{3}=-((y-10) (y-10) (y-10))\)
\(x^{3}=-(y-10)^{3}\)
\(x=-(y-10)\)
\(x=-y+10\)
\(x+y=10\)
Karena \(x+y=10\) dan merupakan bilangan prima maka bilangan prima yang memenuhi adalah \(3\) dan \(7\) untuk \(x=3\) dan \(y=7\)
Karena \(x+y=10\) dan merupakan bilangan prima maka bilangan prima yang memenuhi adalah \(3\) dan \(7\) untuk \(x=3\) dan \(y=7\)
Soal Nomor 2
Kedua akar persamaan kuadrat \(x^{2}-111x+k=0\) adalah bilangan prima. Nilai \(k\) adalah...
Pembahasan
Diketahui :
- \(x^{2}-111x+k=0\)
- Akar-akarnya merupakan bilangan prima ( \(x_1\) dan \(x_2\) )
Ditanya :
- Nilai \(k\)
\( a=1, b=-111, c=k\)
\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)
\(x_1+x_2=\frac{-b}{a}\)
\(x_1x_2=k\)\(x_1+x_2=111\)
Saya mengerjakan soal ini hanya pakai logika saja. Carilah bilangan prima yang dijumlahkan hasilnya \(111\).
Maka ketemulah angka \(109\) dan \(2\), selanjutnya masukan angka tersebut yang menjadi akar-akar dari persamaan \(x^{2}-111x+k=0\) kedalam rumus \(x_1x_2=k\). Jadi nilai \(k\) adalah \(208\)
Soal Nomor 3
Misalkan \(x\) dan \(y\) adalah bilangan tak nol yang memenuhi \(xy=x/y=x-y\), Berapakah nilai \(x+y\) ?
Pembahasan
Diketahui :
- \(xy=x/y \) Persamaan 1
- \(xy=x-y\) Persamaan 2
Ditanya :
- \(x+y\) ?
Persamaan 1
\(xy=x/y\)
\(xy^{2}=x\)
\(y^{2}=\sqrt1\)
\(y=\pm1\)
Substitusikan \(y=\pm1\) ke persamaan 2
\(y=-1\)
\(x(-1)=x-(-1)\)
\(-x=x+1\)
\(-2x=1\)
\(x = -1/2\)
Jadi \(x+y\) = \(-1/2-1=-3/2\). Untuk akar persamaan \(y=1\) tidak saya substitusikan karena tidak ditemukan hasilnya. Kalo ga percaya kalian bisa mencoba substitusikannya sendiri pasti tidak ketemu hasilnya.
Soal Nomor 4
Diketahui \(x-y=10\) dan \(xy=10\). Nilai \(x^{4}+y^{4}\) adalah.....
Pembahasan
\(x-y=10\)
\((x-y)^{2}=(10)^{2}\)
\(x^{2}-2xy+y^{2}=100\)
\(x^{2}+y^{2}=100+2(10)\)
\(x^{2}+y^{2}=120\)
\((x^{2}+y^{2})^{2}=(120)^{2}\)
\(x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}\\=14400\)
\(x^{4}+y^{4}=\\14400-2x^{2}y^{2}\)
\(x^{4}+y^{4}=\\14400-2(xy)^{2}\)
\(x^{4}+y^{4}=\\14400-2(10)^{2}\)
\(x^{4}+y^{4}=14400-2(100)\)
\(x^{4}+y^{4}=14400-200\)
\(x^{4}+y^{4}=14200\)
Soal Nomor 5
Misalkan \(a=2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}}\) dan \(b=2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}}\).
Jika \(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\) dengan \(x\) dan \(y\) bilangan bulat, maka nilai \(x+y\) adalah....
Pembahasan
Diketahui :
👉\(a=2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}}\)
👉\(b=2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}}\)
👉\(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\)
👉\(x+y\) bulat
Ditanya :
👉Nilai \(x+y\)
Langkah 1 :
Operasikan atau sederhanakan terlebih dahulu bentuk \(a\) dan \(b\).
Menyederhanakan bentuk \(a\)
\(a=2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}}\)
\(a=2\sqrt{2}-\sqrt{4(2-\sqrt{2})}\)
\(a=2\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
Meynyederhanakan bentuk \(b\)
\(b=2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}}\)
\(b=2\sqrt{2}+\sqrt{4(2-\sqrt{2})}\)
\(b=2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
Langkah 2 :
Operasikan bentuk persamaan \(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\), Caranya seperti di bawah :
\(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\)
\(\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=x+y\sqrt{2}\)
Langkah 3 :
Mencari nilai \(a^{2}+b^{2}\) dan \(ab\)
Mencari nilai \(a+b\)
\(a+b=(2\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{2}})+\\(2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}})\)
\(a+b=2\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{2}}+\\2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
\(a+b=2\sqrt{2}+\\2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}}-2\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
\(a+b=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\)
\(a+b=4\sqrt{2}\)
Mencari nilai \(ab\)
\(ab=a\times b\)
\(a\times b= (2\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{2}})\\(2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}})\)
Untuk mencari nilai \(ab\) kalian harus ingat rumus perkalian \((a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\)
\(a\times b= (2\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{2-\sqrt{2}})^{2}\)
\(a\times b= 8-(4(2-\sqrt{2}))\)
\(a\times b= 8-(8-4\sqrt{2}))\)
\(ab= 8-8+4\sqrt{2}\)
\(ab= 4\sqrt{2}\)
Selanjutnya substitusikan nilai \(ab\) dan \(a+b\) ke persamaan \(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\)
\(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\)
\(\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=x+y\sqrt{2}\)
Nah untuk dapat mengerjakan soal aljabar kita memang harus banyak hapal mengenai rumus pemfaktoran dan perkalian aljabar. Pada tahap ini untuk mempermudah pengerjaan soal kita akan misalkan \(a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab\).
\(\frac{(a+b)^{2}-2ab}{ab}=x+y\sqrt{2}\)
\(\frac{(a+b)^{2}-2ab}{ab}=x+y\sqrt{2}\)
\(\frac{(4\sqrt{2})^{2}-2(4\sqrt{2})}{4\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}\)
\(\frac{4\sqrt{2}(4\sqrt{2}-2)}{4\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}\)
\(\frac{4\sqrt{2}(4\sqrt{2}-2)}{4\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{2}-2=x+y\sqrt{2}\)
\(-2+4\sqrt{2}=x+y\sqrt{2}\)
Diperoleh nilai \(x = -2\) dan \(y=4\) dari persamaan \(-2+4\sqrt{2}=x+y\sqrt{2}\).
Jadi nilai \(x+y=-2+4=2\)
Soal Olimpiade Matematika SMA dan Pembahasannya
Soal Nomor 1
Misalkan \(a,b\) adalah bilangan riil sedemikian sehingga \(a+b=\frac1a+\frac1b=6\). Nilai dari \(\frac ab+\frac ba+1980\) adalah... (OSK Matematika 2014)
Pembahasan
Diketahui :
- \(a+b=6\) Persamaan 1
- \(\frac1a+\frac1b=6\) Persamaan 2
Hasil operasi persamaan 1 dan 2 diperoleh \(a+b=6ab\) dan \(ab=1\)
\(\frac ab+\frac ba+1980=\)
\(\frac {a^{2}+b^{2}}{ab}+1980=\)
\(\frac {(a+b)^{2}-2ab}{ab}+1980=\)
\(\frac {a^{2}+b^{2}}{ab}+1980=\)
\(\frac {(a+b)^{2}-2ab}{ab}+1980=\)
\(\frac {(6ab)^{2}-2ab}{ab}+1980=\)
\(\frac {36a^{2}b^{2}-2ab}{ab}+1980=\)
\(\frac {ab(36ab-2)}{ab}+1980=\)
\((36ab-2)+1980=\)
\(\frac {ab(36ab-2)}{ab}+1980=\)
\((36ab-2)+1980=\)
\(36-2+1980=2014\)
Soal Nomor 2
Hasil kali semua akar real dari persamaan \(2x^{2}+3x+4=2\sqrt {2x^{2}+3x+12}\) adalah....(OSK Matematika 2014)
Pembahasan
Misal : \(2x^{2}+3x+12=x\)
Ditanya : Hasil kali akar real dari persamaan \((x1x2)\) ?
\(x-8=2\sqrt{x}\)
\((x-8)^{2}=(2\sqrt{x})^{2}\)
\(x^{2}-16x-64=4x\)
\(x^{2}-20x-64=0\)
\(x^{2}-20x-64=0\)
\( (x-16) (x-4) = 0\)
\( (2x^{2}+3x+12-16) (2x^{2}+3x+12-4) \)
\( (2x^{2}+3x-4) (2x^{2}+3x+8) = 0 \)
Selanjutnya cek akar persamaan tersebut menggunakan diskriminan, karena akar dari persamaan \(2x^{2}+3x+4=2\sqrt {2x^{2}+3x+12}\) adalah real maka diskriminannya harus \( D \geq 0 \).
Akar dari persamaan tersebut yang memiliki \( D \geq 0 \) adalah \( (2x^{2}+3x-4)\) sedangkan \( (2x^{2}+3x+8)\) imajiner karena \( D<0\) . Maka \(x1x2\) adalah \(-2\)
Soal Nomor 3
Jika \(fog(x)=\frac {7x+3} {5x-9}\) dan \( g(x)=2x-4\), maka nilai \(f(2)\) adalah...... (OSK Matematika 2015)
Pembahasan
Diketahui :
- \(fog(x)=\frac {7x+3} {5x-9}\)
- \( g(x)=2x-4\)
Ditanya :
- nilai \(f(2)\)?
Langkah 1
\(fog(x)=\frac {7x+3} {5x-9}\)
\(f(g(x))=\frac {7x+3} {5x-9}\)
Langkah 2
\(g(x) = 2 \), kenapa \(= 2\) karena kita membutuhkan hasil operasi dari \(2x-4\) yang hasilnya \(2\) agar ketika \(g(x)\) nya diganti/substitusi nilai \(x\) dari \(f(g(x))\) menjadi \(f(2)\) hasilnya sesuai yang diminta atau ditanyakan di soal.
\(g(x) = 2 \), kenapa \(= 2\) karena kita membutuhkan hasil operasi dari \(2x-4\) yang hasilnya \(2\) agar ketika \(g(x)\) nya diganti/substitusi nilai \(x\) dari \(f(g(x))\) menjadi \(f(2)\) hasilnya sesuai yang diminta atau ditanyakan di soal.
Lebih lanjut pelajari cara kerjanya dibawah agar lebih mudah memahami.
\( 2x-4=2\)
\( 2x-4=2\)
\(2x=6\)
\(x=3\)
Langkah 3
Substitusikan \(x=3\) ke \(f(g(x))=\frac {7x+3} {5x-9}\) sebelumnya jangan lupa \(g(x)\) diganti \(2x-4\) seperti dibawah ini :
\(f(2x-4)=\frac {7x+3} {5x-9}\)
\(f(2(3)-4)=\frac {7(3)+3} {5(3)-9}\)
\(f(2(3)-4)=\frac {7(3)+3} {5(3)-9}\)
\(f(6-4)=\frac {7(3)+3} {5(3)-9}\)
\(f(2)=\frac {7(3)+3} {5(3)-9}\)
\(f(2)=\frac {7(3)+3} {5(3)-9} = \frac {24} {6} = 4\)
Soal Nomor 4
Diketahui \(a,b,c\) akar dari persamaan \(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0\). Jika suku banyak \(P(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx-2015\) memenuhi \(P(a)=b+c\), \(P(b)=a+c\), \(P(c)=a+b\), Maka nilai dari \( A+B+C\) adalah..... (OSK Matematika 2015)
Pembahasan
Diketahui :
- Dari penjumlahan sifat akar eksponen dari persamaan \(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0\) diperoleh \(a+b+c=5\)
- \(P(a)=b+c=5-a\)
- \(P(b)=a+c=5-b\)
- \(P(c)=a+b=5-c\)
Ditanya :
- Nilai \(A+B+C\) ?
Langkah 1 substitusikan akar-akar \(a,b,c\) ke polinomial \(P(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx-2015\)
\( P(a)= Aa^{3}+Ba^{2}+Ca-2015=5-a\)\( P(a)= Aa^{3}+Ba^{2}+a(C+1)-2020=0\) persamaan 1
\( P(b)= Ab^{3}+Bb^{2}+Cb-2015=5-b\)\(P(b)= Ab^{3}+Bb^{2}+b(C+1)-2020=0\) persamaan 2
\( P(c)= Ac^{3}+Bc^{2}+Cc-2015=5-c\)\(P(c)= Ac^{3}+Bc^{2}+c(C+1)-2020=0\) persamaan 3
Kalo kita memperhatikan persamaan 1,2 dan 3. Persamaan tersebut memiliki model yang sama.
Apabila variabel ketiganya saya ganti menjadi \(x\) maka saya akan mempunyai persamaan polinom \( Ax^{3}+Bx^{2}+x(C+1)-2020=0\) artinya persamaan ini akan mempunyai \(3\) akar \(a,b,c\).
Jika akar-akarnya \( x1=a, x2=b, x3=c\) berarti polinom ini sama dengan persamaan \(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0\), karena memiliki akar yang sama maka koefisiennya juga sama.
Untuk mengetahui apakah koefisiennya sudah sama atau belum kita bisa cek melalui konstantanya.
Dapat dilihat oleh kalian konstanta persamaan \(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0\) dengan \(Ax^{3}+Bx^2+x(C+1)-2020=0\) berbeda, konstanta yang pertama \(10\) sedangkan yang kedua \(-2020\) karena berbeda kita perlu menyamakannya.
Agar sama konstanta pertama perlu dikali \(-202\) agar hasilnya \(-2020\). Simak cara kerjanya dibawah ini agar lebih mudah memahami.
Ditanya :
- Nilai \(A+B+C\) ?
Langkah 1 substitusikan akar-akar \(a,b,c\) ke polinomial \(P(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx-2015\)
\( P(a)= Aa^{3}+Ba^{2}+Ca-2015=5-a\)
\( P(a)= Aa^{3}+Ba^{2}+a(C+1)-2020=0\) persamaan 1
\( P(b)= Ab^{3}+Bb^{2}+Cb-2015=5-b\)
\( P(b)= Ab^{3}+Bb^{2}+Cb-2015=5-b\)
\(P(b)= Ab^{3}+Bb^{2}+b(C+1)-2020=0\) persamaan 2
\( P(c)= Ac^{3}+Bc^{2}+Cc-2015=5-c\)
\( P(c)= Ac^{3}+Bc^{2}+Cc-2015=5-c\)
\(P(c)= Ac^{3}+Bc^{2}+c(C+1)-2020=0\) persamaan 3
Kalo kita memperhatikan persamaan 1,2 dan 3. Persamaan tersebut memiliki model yang sama.
Apabila variabel ketiganya saya ganti menjadi \(x\) maka saya akan mempunyai persamaan polinom \( Ax^{3}+Bx^{2}+x(C+1)-2020=0\) artinya persamaan ini akan mempunyai \(3\) akar \(a,b,c\).
Jika akar-akarnya \( x1=a, x2=b, x3=c\) berarti polinom ini sama dengan persamaan \(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0\), karena memiliki akar yang sama maka koefisiennya juga sama.
Untuk mengetahui apakah koefisiennya sudah sama atau belum kita bisa cek melalui konstantanya.
Dapat dilihat oleh kalian konstanta persamaan \(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0\) dengan \(Ax^{3}+Bx^2+x(C+1)-2020=0\) berbeda, konstanta yang pertama \(10\) sedangkan yang kedua \(-2020\) karena berbeda kita perlu menyamakannya.
Agar sama konstanta pertama perlu dikali \(-202\) agar hasilnya \(-2020\). Simak cara kerjanya dibawah ini agar lebih mudah memahami.
\(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0 \times -202\)
\(-202x^{3}+1010x^{2}+1818x-2020=0\)
Karena untuk konstantanya sudah sama-sama \(-2020\) maka untuk koefisien polinomial \(Ax^{3}+Bx^2+x(C+1)-2020=0\) diperoleh :
\(A=-202\)
\(B=1010\)
\(C + 1=1818\)
\(C=1817\)
Maka \(A+B+C=-202+1010+1818=2625\)
Soal Nomor 5
Suatu polinom \(P(x)\) memenuhi \(P(x+\frac{2}{x})=\frac{x^{3}+1} {x} + \frac {x^{3}+8} {2x^{2}} + 3\). Nilai dari \(P(1)\) adalah... (OSK Matematika 2020)
Pembahasan
\(P(x+\frac{2}{x})=\frac{x^{3}+1} {x} + \frac {x^{3}+8} {2x^{2}} + 3\)
\(P(x+\frac{2}{x})= x^{2} + \frac{1} {x} + \frac{4} {x^{2}} + \frac{x} {2} + 3 \)
\(P(x+\frac{2}{x})= x^{2}+ 4 + \frac{4} {x^{2}} + \frac{1} {x} + \frac{x} {2} - 1 \)
\(P(x+\frac{2}{x})= x^{2}+ 4 + \frac{4} {x^{2}} + \frac{1} {x} + \frac{x} {2} - 1 \)
\(P(x+\frac{2}{x})= (x+ \frac{2} {x})^{2} + \frac{1} {2} \times (x + \frac {2} {x}) - 1 \)
Misal :
- \((x+\frac{2}{x}) = a\),
\(P(a)=a^{2}+\frac12 \times a - 1\)
\(P(1)=(1)^{2}+(\frac12 \times 1) - 1\)
\(P(1)=1+\frac 12 -1 = \frac 12\)
Soal Nomor 6
Misalkan \(a\) adalah bilangan real sehingga polinomial \(P(x)=x^{4}+4x+a\) habis dibagi oleh \( (x-2)^{2} \) untuk suatu bilangan real \(c\). Nilai \(a\) yang memenuhi adalah... (OSK Matematika 2016)
Pembahasan
Diketahui :
- \(P(x)=x^{4}+4x+a\) habis dibagi oleh \((x-c)^{2}\)
Ditanya:
- Nilai \(a\)
Disini saya menggunakan cara horner, untuk cara kerjanya seperti dibawah ini :
Diperoleh dari sisa pembagian horner :
- \(a+4c+c^{4}=0\) Sisa Pembagian 1
- \(4+4c^{3}=0\) Sisa Pembagian 2
Maka :
\(4+4c^{3}=0\)
\(4c^{3}=-4\)
\(c^{3}=-1\)
\(c=-1\)
Substitusikan \(c=-1\) ke \(a+4c+c^{4}=0\) maka :
\(a+4c+c^{4}=0\)
\(a+4(-1)+(-1)^{4}=0\)
\(a-4+1=0\)
\(a-3=0\)
\(a=3\)
Jadi diperoleh nilai \(a=3\).
Penutup
Nah untuk sementara segitu dulu ya kawan. Kami cari soal-soalnya dulu atau kalian bisa kirim soalnya ke kami melalui kontak yang ada biar nanti dibuatkan bahasannya. Kalo bisa ngasih soalnya minimal 4 butir soal dengan syarat materinya harus sama.
