Soal dan Pembahasan




alvininfo.com - Buat para pejuang olimpiade sains nasional khususnya mata pelajaran matematika. Saya buatkan pembahasan soal olimpiade Matematika SMA tahun sebelumnya dengan materi aljabar. Tujuannya untuk menjadi bahan referensi supaya kalian bisa  menjawab soal yang serupa dengan pengembangan soal terbaru.


Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Materi Aljabar



Soal Nomor 1


Diketahui \(x\) dan \(y\) bilangan prima dengan \(x<y\) dan \( x^{3}+y^{3}+2018=30y^{2}-300y+3018\).  Nilai \(x\) yang memenuhi adalah.....

Pembahasan

Diketahui :
  • \(x\) dan \(y\) bilangan prima
  • \(y>x\)
Ditanya: 
  • Nilai \(x\) yang memenuhi ?

\( x^{3}+y^{3}+2018=\\30y^{2}-300y+3018\)

\(x^{3}=-y^{3}+30y^{2}\\-300y+3018-2018\)

\(x^{3}=-(y^{3}-30y^{2}+300y-1000)\)

\(x^{3}=-(y^{3}-10y^{2}\\-20y^{2}+200y+100y-1000)\)

\(x^{3}=-(y^{2}(y-10)\\-20y(y-10)+100(y-10))\)

\(x^{3}=-((y-10) (y^{2}-20y+100))\)

\(x^{3}=-((y-10) (y-10) (y-10))\)

\(x^{3}=-(y-10)^{3}\)

\(x=-(y-10)\)

\(x=-y+10\)

\(x+y=10\)

Karena \(x+y=10\) dan merupakan bilangan prima maka bilangan prima yang memenuhi adalah \(3\) dan \(7\) untuk \(x=3\) dan \(y=7\)


Soal Nomor 2


Kedua akar persamaan kuadrat \(x^{2}-111x+k=0\) adalah bilangan prima. Nilai \(k\) adalah...

Pembahasan

Diketahui :
  • \(x^{2}-111x+k=0\)
  • Akar-akarnya merupakan bilangan prima ( \(x_1\) dan \(x_2\) )
Ditanya :
  • Nilai \(k\)
\( a=1, b=-111, c=k\)

\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)
\(x_1+x_2=\frac{-b}{a}\)
\(x_1x_2=k\)
\(x_1+x_2=111\)

Saya mengerjakan soal ini hanya pakai logika saja. Carilah bilangan prima yang dijumlahkan hasilnya \(111\). 

Maka ketemulah angka \(109\) dan \(2\), selanjutnya masukan angka tersebut yang menjadi akar-akar dari persamaan \(x^{2}-111x+k=0\) kedalam rumus \(x_1x_2=k\). Jadi nilai \(k\) adalah \(208\)


Soal Nomor 3 


Misalkan \(x\) dan \(y\) adalah bilangan tak nol yang memenuhi \(xy=x/y=x-y\), Berapakah nilai \(x+y\) ?

Pembahasan

Diketahui :
  • \(xy=x/y \)  Persamaan 1
  • \(xy=x-y\)   Persamaan 2
Ditanya :
  • \(x+y\) ?
Persamaan 1

\(xy=x/y\)
\(xy^{2}=x\)
\(y^{2}=\sqrt1\)
\(y=\pm1\)

Substitusikan \(y=\pm1\) ke persamaan 2

\(y=-1\)
\(x(-1)=x-(-1)\)
\(-x=x+1\)
\(-2x=1\)
\(x = -1/2\)

Jadi \(x+y\) = \(-1/2-1=-3/2\). Untuk akar persamaan \(y=1\) tidak saya substitusikan karena tidak ditemukan hasilnya. Kalo ga percaya kalian bisa mencoba substitusikannya sendiri pasti tidak ketemu hasilnya.


Soal Nomor 4


Diketahui \(x-y=10\) dan \(xy=10\). Nilai \(x^{4}+y^{4}\) adalah.....

Pembahasan


\(x-y=10\)

\((x-y)^{2}=(10)^{2}\)

\(x^{2}-2xy+y^{2}=100\)

\(x^{2}+y^{2}=100+2(10)\)

\(x^{2}+y^{2}=120\)

\((x^{2}+y^{2})^{2}=(120)^{2}\)

\(x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}\\=14400\)

\(x^{4}+y^{4}=\\14400-2x^{2}y^{2}\)

\(x^{4}+y^{4}=\\14400-2(xy)^{2}\)

\(x^{4}+y^{4}=\\14400-2(10)^{2}\)

\(x^{4}+y^{4}=14400-2(100)\)

\(x^{4}+y^{4}=14400-200\)

\(x^{4}+y^{4}=14200\)


Soal Nomor 5


Misalkan \(a=2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}}\) dan \(b=2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}}\). 

Jika \(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\) dengan \(x\) dan \(y\) bilangan bulat, maka nilai \(x+y\) adalah....

Pembahasan

Diketahui :

πŸ‘‰\(a=2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}}\)

πŸ‘‰\(b=2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}}\)

πŸ‘‰\(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\)

πŸ‘‰\(x+y\) bulat

Ditanya :

πŸ‘‰Nilai \(x+y\)

Langkah 1

Operasikan atau sederhanakan terlebih dahulu bentuk \(a\) dan \(b\).

Menyederhanakan bentuk \(a\)

\(a=2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}}\)

\(a=2\sqrt{2}-\sqrt{4(2-\sqrt{2})}\)

\(a=2\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{2}}\)


Meynyederhanakan bentuk \(b\)

\(b=2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}}\)

\(b=2\sqrt{2}+\sqrt{4(2-\sqrt{2})}\)

\(b=2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}}\)


Langkah 2 :

Operasikan bentuk persamaan \(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\), Caranya seperti di bawah :


\(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\)

\(\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=x+y\sqrt{2}\)


Langkah 3 :

Mencari nilai \(a^{2}+b^{2}\) dan \(ab\)


Mencari nilai \(a+b\)

\(a+b=(2\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{2}})+\\(2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

\(a+b=2\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{2}}+\\2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

\(a+b=2\sqrt{2}+\\2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}}-2\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

\(a+b=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\)

\(a+b=4\sqrt{2}\)

Mencari nilai \(ab\)

\(ab=a\times b\)

\(a\times b= (2\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{2}})\\(2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}})\)

Untuk mencari nilai \(ab\) kalian harus ingat rumus perkalian \((a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\)

\(a\times b= (2\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{2-\sqrt{2}})^{2}\)

\(a\times b= 8-(4(2-\sqrt{2}))\)

\(a\times b= 8-(8-4\sqrt{2}))\)

\(ab= 8-8+4\sqrt{2}\)

\(ab= 4\sqrt{2}\)

Selanjutnya substitusikan nilai \(ab\) dan \(a+b\) ke persamaan \(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\)


\(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\)

\(\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=x+y\sqrt{2}\)

Nah untuk dapat mengerjakan soal aljabar kita memang harus banyak hapal mengenai rumus pemfaktoran dan perkalian aljabar. Pada tahap ini untuk mempermudah pengerjaan soal kita akan misalkan \(a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab\).

\(\frac{(a+b)^{2}-2ab}{ab}=x+y\sqrt{2}\)

\(\frac{(a+b)^{2}-2ab}{ab}=x+y\sqrt{2}\)

\(\frac{(4\sqrt{2})^{2}-2(4\sqrt{2})}{4\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}\)

\(\frac{4\sqrt{2}(4\sqrt{2}-2)}{4\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}\)

\(\frac{4\sqrt{2}(4\sqrt{2}-2)}{4\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}\)

\(4\sqrt{2}-2=x+y\sqrt{2}\)

\(-2+4\sqrt{2}=x+y\sqrt{2}\)

Diperoleh nilai \(x = -2\) dan \(y=4\) dari persamaan \(-2+4\sqrt{2}=x+y\sqrt{2}\).
Jadi nilai \(x+y=-2+4=2\)


Soal Olimpiade Matematika SMA dan Pembahasannya


Soal Nomor 1


Misalkan \(a,b\) adalah bilangan riil sedemikian sehingga \(a+b=\frac1a+\frac1b=6\). Nilai dari \(\frac ab+\frac ba+1980\) adalah... (OSK Matematika 2014)

Pembahasan

Diketahui :
  • \(a+b=6\) Persamaan 1
  • \(\frac1a+\frac1b=6\) Persamaan 2
Hasil operasi persamaan 1 dan 2 diperoleh \(a+b=6ab\) dan \(ab=1\) 

\(\frac ab+\frac ba+1980=\)

\(\frac {a^{2}+b^{2}}{ab}+1980=\)

\(\frac {(a+b)^{2}-2ab}{ab}+1980=\)

\(\frac {(6ab)^{2}-2ab}{ab}+1980=\)

\(\frac {36a^{2}b^{2}-2ab}{ab}+1980=\)

\(\frac {ab(36ab-2)}{ab}+1980=\)

\((36ab-2)+1980=\)

\(36-2+1980=2014\)

Soal Nomor 2


Hasil kali semua akar real dari persamaan \(2x^{2}+3x+4=2\sqrt {2x^{2}+3x+12}\) adalah....(OSK Matematika 2014)

Pembahasan

Misal : \(2x^{2}+3x+12=x\)
Ditanya : Hasil kali akar real dari persamaan  \((x1x2)\) ?

\(x-8=2\sqrt{x}\)

\((x-8)^{2}=(2\sqrt{x})^{2}\)

\(x^{2}-16x-64=4x\)

\(x^{2}-20x-64=0\)

\( (x-16) (x-4) = 0\)

\( (2x^{2}+3x+12-16) (2x^{2}+3x+12-4) \)

\( (2x^{2}+3x-4) (2x^{2}+3x+8) = 0  \)


Selanjutnya cek akar persamaan tersebut menggunakan diskriminan, karena akar dari persamaan \(2x^{2}+3x+4=2\sqrt {2x^{2}+3x+12}\) adalah real maka diskriminannya harus \( D \geq 0 \). 

Akar dari persamaan tersebut yang memiliki \( D \geq 0 \) adalah \( (2x^{2}+3x-4)\) sedangkan \( (2x^{2}+3x+8)\) imajiner karena \( D<0\) . Maka \(x1x2\) adalah \(-2\)

Soal Nomor 3


Jika \(fog(x)=\frac {7x+3} {5x-9}\) dan \( g(x)=2x-4\), maka nilai \(f(2)\) adalah...... (OSK Matematika 2015)

Pembahasan 

Diketahui :
  • \(fog(x)=\frac {7x+3} {5x-9}\)
  • \( g(x)=2x-4\)

Ditanya :
  • nilai \(f(2)\)?

Langkah 1

\(fog(x)=\frac {7x+3} {5x-9}\)

\(f(g(x))=\frac {7x+3} {5x-9}\)

Langkah 2

\(g(x) = 2 \), kenapa \(= 2\) karena kita membutuhkan hasil operasi dari \(2x-4\) yang hasilnya \(2\) agar ketika \(g(x)\) nya diganti/substitusi nilai \(x\) dari \(f(g(x))\) menjadi \(f(2)\) hasilnya sesuai yang diminta atau ditanyakan di soal. 

Lebih lanjut pelajari cara kerjanya dibawah agar lebih mudah memahami.

\( 2x-4=2\)

\(2x=6\)

\(x=3\)

Langkah 3 

Substitusikan \(x=3\) ke \(f(g(x))=\frac {7x+3} {5x-9}\) sebelumnya jangan lupa \(g(x)\) diganti \(2x-4\) seperti dibawah ini :

\(f(2x-4)=\frac {7x+3} {5x-9}\)

\(f(2(3)-4)=\frac {7(3)+3} {5(3)-9}\)

\(f(6-4)=\frac {7(3)+3} {5(3)-9}\)

\(f(2)=\frac {7(3)+3} {5(3)-9}\)

\(f(2)=\frac {7(3)+3} {5(3)-9} = \frac {24} {6} = 4\)

Soal Nomor 4


Diketahui \(a,b,c\) akar dari persamaan \(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0\). Jika suku banyak \(P(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx-2015\) memenuhi \(P(a)=b+c\), \(P(b)=a+c\), \(P(c)=a+b\), Maka nilai dari \( A+B+C\) adalah..... (OSK Matematika 2015)

Pembahasan

Diketahui :
  • Dari penjumlahan sifat akar eksponen dari persamaan \(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0\) diperoleh \(a+b+c=5\)
  • \(P(a)=b+c=5-a\)
  • \(P(b)=a+c=5-b\)
  • \(P(c)=a+b=5-c\)

Ditanya :
  • Nilai \(A+B+C\) ?
Langkah 1 substitusikan akar-akar \(a,b,c\) ke polinomial  \(P(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx-2015\)

\( P(a)= Aa^{3}+Ba^{2}+Ca-2015=5-a\)
\( P(a)= Aa^{3}+Ba^{2}+a(C+1)-2020=0\) persamaan 1

\( P(b)= Ab^{3}+Bb^{2}+Cb-2015=5-b\)
\(P(b)= Ab^{3}+Bb^{2}+b(C+1)-2020=0\) persamaan 2

\( P(c)= Ac^{3}+Bc^{2}+Cc-2015=5-c\)
\(P(c)= Ac^{3}+Bc^{2}+c(C+1)-2020=0\) persamaan 3

Kalo kita memperhatikan persamaan 1,2 dan 3. Persamaan tersebut memiliki model yang sama. 

Apabila variabel ketiganya saya ganti menjadi \(x\) maka saya akan mempunyai persamaan polinom \( Ax^{3}+Bx^{2}+x(C+1)-2020=0\)  artinya persamaan ini akan mempunyai \(3\) akar \(a,b,c\). 

Jika akar-akarnya \( x1=a, x2=b, x3=c\) berarti polinom ini sama dengan persamaan \(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0\), karena memiliki akar yang sama maka koefisiennya juga sama. 

Untuk mengetahui apakah koefisiennya sudah sama atau belum kita bisa cek melalui konstantanya. 

Dapat dilihat oleh kalian konstanta persamaan \(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0\) dengan \(Ax^{3}+Bx^2+x(C+1)-2020=0\) berbeda, konstanta yang pertama \(10\) sedangkan yang kedua \(-2020\) karena berbeda kita perlu menyamakannya. 

Agar sama konstanta pertama perlu dikali \(-202\) agar hasilnya \(-2020\). Simak cara kerjanya dibawah ini agar lebih mudah memahami.

\(x^{3}-5x^{2}-9x+10=0 \times -202\)

 \(-202x^{3}+1010x^{2}+1818x-2020=0\)

Karena untuk konstantanya sudah sama-sama \(-2020\) maka untuk koefisien polinomial \(Ax^{3}+Bx^2+x(C+1)-2020=0\) diperoleh :

\(A=-202\)
\(B=1010\)
\(C + 1=1818\)
\(C=1817\)

Maka \(A+B+C=-202+1010+1818=2625\)

Soal Nomor 5


Suatu polinom \(P(x)\) memenuhi \(P(x+\frac{2}{x})=\frac{x^{3}+1} {x} + \frac {x^{3}+8} {2x^{2}} + 3\). Nilai dari \(P(1)\) adalah... (OSK Matematika 2020)

Pembahasan

\(P(x+\frac{2}{x})=\frac{x^{3}+1} {x} + \frac {x^{3}+8} {2x^{2}} + 3\)

\(P(x+\frac{2}{x})= x^{2} + \frac{1} {x} + \frac{4} {x^{2}} + \frac{x} {2} + 3 \)

\(P(x+\frac{2}{x})= x^{2}+ 4 + \frac{4} {x^{2}} + \frac{1} {x}  + \frac{x} {2} - 1 \)

\(P(x+\frac{2}{x})= (x+ \frac{2} {x})^{2} + \frac{1} {2}  \times (x + \frac  {2} {x}) - 1 \)

Misal :
  • \((x+\frac{2}{x}) = a\),
Maka :

\(P(a)=a^{2}+\frac12 \times a - 1\)

\(P(1)=(1)^{2}+(\frac12 \times 1) - 1\)

\(P(1)=1+\frac 12 -1 = \frac 12\)

Soal Nomor 6


Misalkan \(a\) adalah bilangan real sehingga polinomial \(P(x)=x^{4}+4x+a\) habis dibagi oleh \( (x-2)^{2} \) untuk suatu bilangan real \(c\). Nilai \(a\) yang memenuhi adalah... (OSK Matematika 2016)

Pembahasan

Diketahui :
  • \(P(x)=x^{4}+4x+a\) habis dibagi oleh \((x-c)^{2}\)
Ditanya:
  • Nilai \(a\) 

Disini saya menggunakan cara horner, untuk cara kerjanya seperti dibawah ini :


Soal dan Pemabahasannya



Diperoleh dari sisa pembagian horner :
  • \(a+4c+c^{4}=0\) Sisa Pembagian 1
  • \(4+4c^{3}=0\) Sisa Pembagian 2
Maka :

\(4+4c^{3}=0\)
\(4c^{3}=-4\)
\(c^{3}=-1\)
\(c=-1\)

Substitusikan \(c=-1\) ke \(a+4c+c^{4}=0\) maka :

\(a+4c+c^{4}=0\)
\(a+4(-1)+(-1)^{4}=0\)
\(a-4+1=0\)
\(a-3=0\)
\(a=3\)

Jadi diperoleh nilai \(a=3\).


Penutup


Nah untuk sementara segitu dulu ya kawan. Kami cari soal-soalnya dulu atau kalian bisa kirim soalnya ke kami melalui kontak yang ada biar nanti dibuatkan bahasannya. Kalo bisa ngasih soalnya minimal 4 butir soal dengan syarat materinya harus sama.