Soal dan Pembahasan




alvininfo.com - Buat para pejuang olimpiade sains nasional khususnya mata pelajaran matematika. Saya buatkan pembahasan soal olimpiade Matematika SMA tahun sebelumnya dengan materi aljabar. Tujuannya untuk menjadi bahan referensi supaya kalian bisa  menjawab soal yang serupa dengan pengembangan soal terbaru.


Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Materi Aljabar



Soal Nomor 1


Diketahui \(x\) dan \(y\) bilangan prima dengan \(x<y\) dan \( x^{3}+y^{3}+2018=30y^{2}-300y+3018\).  Nilai \(x\) yang memenuhi adalah.....

Pembahasan

Diketahui :
  • \(x\) dan \(y\) bilangan prima
  • \(y>x\)
Ditanya: 
  • Nilai \(x\) yang memenuhi ?

\( x^{3}+y^{3}+2018=\\30y^{2}-300y+3018\)

\(x^{3}=-y^{3}+30y^{2}\\-300y+3018-2018\)

\(x^{3}=-(y^{3}-30y^{2}+300y-1000)\)

\(x^{3}=-(y^{3}-10y^{2}\\-20y^{2}+200y+100y-1000)\)

\(x^{3}=-(y^{2}(y-10)\\-20y(y-10)+100(y-10))\)

\(x^{3}=-((y-10) (y^{2}-20y+100))\)

\(x^{3}=-((y-10) (y-10) (y-10))\)

\(x^{3}=-(y-10)^{3}\)

\(x=-(y-10)\)

\(x=-y+10\)

\(x+y=10\)

Karena \(x+y=10\) dan merupakan bilangan prima maka bilangan prima yang memenuhi adalah \(3\) dan \(7\) untuk \(x=3\) dan \(y=7\)


Soal Nomor 2


Kedua akar persamaan kuadrat \(x^{2}-111x+k=0\) adalah bilangan prima. Nilai \(k\) adalah...

Pembahasan

Diketahui :
  • \(x^{2}-111x+k=0\)
  • Akar-akarnya merupakan bilangan prima ( \(x_1\) dan \(x_2\) )
Ditanya :
  • Nilai \(k\)
\( a=1, b=-111, c=k\)

\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)
\(x_1+x_2=\frac{-b}{a}\)
\(x_1x_2=k\)
\(x_1+x_2=111\)

Saya mengerjakan soal ini hanya pakai logika saja. Carilah bilangan prima yang dijumlahkan hasilnya \(111\). 

Maka ketemulah angka \(109\) dan \(2\), selanjutnya masukan angka tersebut yang menjadi akar-akar dari persamaan \(x^{2}-111x+k=0\) kedalam rumus \(x_1x_2=k\). Jadi nilai \(k\) adalah \(208\)


Soal Nomor 3 


Misalkan \(x\) dan \(y\) adalah bilangan tak nol yang memenuhi \(xy=x/y=x-y\), Berapakah nilai \(x+y\) ?

Pembahasan

Diketahui :
  • \(xy=x/y \)  Persamaan 1
  • \(xy=x-y\)   Persamaan 2
Ditanya :
  • \(x+y\) ?
Persamaan 1

\(xy=x/y\)
\(xy^{2}=x\)
\(y^{2}=\sqrt1\)
\(y=\pm1\)

Substitusikan \(y=\pm1\) ke persamaan 2

\(y=-1\)
\(x(-1)=x-(-1)\)
\(-x=x+1\)
\(-2x=1\)
\(x = -1/2\)

Jadi \(x+y\) = \(-1/2-1=-3/2\). Untuk akar persamaan \(y=1\) tidak saya substitusikan karena tidak ditemukan hasilnya. Kalo ga percaya kalian bisa mencoba substitusikannya sendiri pasti tidak ketemu hasilnya.


Soal Nomor 4


Diketahui \(x-y=10\) dan \(xy=10\). Nilai \(x^{4}+y^{4}\) adalah.....

Pembahasan


\(x-y=10\)

\((x-y)^{2}=(10)^{2}\)

\(x^{2}-2xy+y^{2}=100\)

\(x^{2}+y^{2}=100+2(10)\)

\(x^{2}+y^{2}=120\)

\((x^{2}+y^{2})^{2}=(120)^{2}\)

\(x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}\\=14400\)

\(x^{4}+y^{4}=\\14400-2x^{2}y^{2}\)

\(x^{4}+y^{4}=\\14400-2(xy)^{2}\)

\(x^{4}+y^{4}=\\14400-2(10)^{2}\)

\(x^{4}+y^{4}=14400-2(100)\)

\(x^{4}+y^{4}=14400-200\)

\(x^{4}+y^{4}=14200\)


Soal Nomor 5


Misalkan \(a=2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}}\) dan \(b=2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}}\). 

Jika \(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\) dengan \(x\) dan \(y\) bilangan bulat, maka nilai \(x+y\) adalah....

Pembahasan

Diketahui :

πŸ‘‰\(a=2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}}\)

πŸ‘‰\(b=2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}}\)

πŸ‘‰\(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\)

πŸ‘‰\(x+y\) bulat

Ditanya :

πŸ‘‰Nilai \(x+y\)

Langkah 1

Operasikan atau sederhanakan terlebih dahulu bentuk \(a\) dan \(b\).

Menyederhanakan bentuk \(a\)

\(a=2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}}\)

\(a=2\sqrt{2}-\sqrt{4(2-\sqrt{2})}\)

\(a=2\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{2}}\)


Meynyederhanakan bentuk \(b\)

\(b=2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}}\)

\(b=2\sqrt{2}+\sqrt{4(2-\sqrt{2})}\)

\(b=2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}}\)


Langkah 2 :

Operasikan bentuk persamaan \(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\), Caranya seperti di bawah :


\(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\)

\(\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=x+y\sqrt{2}\)


Langkah 3 :

Mencari nilai \(a^{2}+b^{2}\) dan \(ab\)


Mencari nilai \(a+b\)

\(a+b=(2\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{2}})+\\(2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

\(a+b=2\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{2}}+\\2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

\(a+b=2\sqrt{2}+\\2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}}-2\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

\(a+b=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\)

\(a+b=4\sqrt{2}\)

Mencari nilai \(ab\)

\(ab=a\times b\)

\(a\times b= (2\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{2}})\\(2\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}})\)

Untuk mencari nilai \(ab\) kalian harus ingat rumus perkalian \((a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\)

\(a\times b= (2\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{2-\sqrt{2}})^{2}\)

\(a\times b= 8-(4(2-\sqrt{2}))\)

\(a\times b= 8-(8-4\sqrt{2}))\)

\(ab= 8-8+4\sqrt{2}\)

\(ab= 4\sqrt{2}\)

Selanjutnya substitusikan nilai \(ab\) dan \(a+b\) ke persamaan \(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\)


\(\frac{a}{b}+ \frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}\)

\(\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=x+y\sqrt{2}\)

Nah untuk dapat mengerjakan soal aljabar kita memang harus banyak hapal mengenai rumus pemfaktoran dan perkalian aljabar. Pada tahap ini untuk mempermudah pengerjaan soal kita akan misalkan \(a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab\).

\(\frac{(a+b)^{2}-2ab}{ab}=x+y\sqrt{2}\)

\(\frac{(a+b)^{2}-2ab}{ab}=x+y\sqrt{2}\)

\(\frac{(4\sqrt{2})^{2}-2(4\sqrt{2})}{4\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}\)

\(\frac{4\sqrt{2}(4\sqrt{2}-2)}{4\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}\)

\(\frac{4\sqrt{2}(4\sqrt{2}-2)}{4\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}\)

\(4\sqrt{2}-2=x+y\sqrt{2}\)

\(-2+4\sqrt{2}=x+y\sqrt{2}\)

Diperoleh nilai \(x = -2\) dan \(y=4\) dari persamaan \(-2+4\sqrt{2}=x+y\sqrt{2}\).
Jadi nilai \(x+y=-2+4=2\)


Penutup


Saya juga sudah membuat pembahasan kumpulan soal osn matematika tingkat SMA tahun 2020 ke belakang untuk tambahan referensi belajar kalian. Nah untuk sementara segitu dulu ya kawan. Kami cari soal-soalnya dulu atau kalian bisa kirim soalnya ke kami melalui kontak yang ada biar nanti dibuatkan bahasannya. Kalo bisa ngasih soalnya minimal 4 butir soal dengan syarat materinya harus sama.