Persamaan Logarima Kelas 10 - Logaritma adalah invers atau kebalikan dari pangkat. Misalkan perpangkatan \(3^{2}=9\) jika ditulis ke dalam bentuk logaritma maka bentuk logaritmanya adalah \(_{}^{3}\log{9}=2\). Dimana \(3\) sebagai basis, \(9\) sebagai numerus dan \(2\) sebagai hasil logaritma.
Baca Juga : Contoh Soal Eksponen dan Pembahasannya PDF
Syarat Logaritma
Tidak bisa sembarangan angka bisa dijadikan sebagai basis dan numerus. Keduanya memiliki syarat-syarat tersendiri. Adapun untuk penjelasan syarat-syaratnya seperti di bawah.
Syarat Basis
- Basis harus lebih dari nol artinya tidak boleh bernilai negatif dan harus positif.
- Basis tidak boleh bernilai satu \(\neq 1\).
Syarat Numerus
- Sama seperti basis numerus harus lebih dari \(>0\) itu artinya nilainya selalu positif. Bedanya dengan basis, numerus boleh bernilai 1 sedangkan basis tidak boleh.
Sifat-Sifat Dasar Logaritma
Dalam mengerjakan soal persamaan logaritma kalian harus mengerti konsep sifat-sifat dasar logaritma.
1. \( _{}^{a}\log{a}=1\)
2. \(_{}^{a}\log{1}=0\)
3. \(_{}^{a}\log{bc}=_{}^{a}\log{b}+_{}^{a}\log{c}\)
4. \(_{}^{a}\log{\frac{b}{c}}=_{}^{a}\log{b}-_{}^{a}\log{c}\)
5. \(_{}^{a}\log{b^{n}}=n. _{}^{a}\log{b}\)
6. \(_{}^{a^{m}}\log{b^{n}}=\frac{n}{m}. _{}^{a}\log{b}\)
7.\(_{}^{a}\log{b}=\frac{1}{{}^{b}\log{a}}\)
8. \(_{}^{a}\log{b}. _{}^{b}\log{c}. _{}^{c}\log{d}=_{}^{a}\log{d}\)
9. \(a^{_{}^{a}\log{b}}=b\)
10.\(\frac{_{}^{a}\log{b}}{_{}^{a}\log{c}}=_{}^{c}\log{b}\)
Setelah mengetahui dan memahami sifat-sifat dasar logaritma. Kalian juga harus tau bentuk-bentuk persamaan logaritma agar nanti. Ketika dihadapkan dengan soal-soal persamaan logaritma kalian tau ini termasuk soal ke dalam bentuk persamaan logaritma yang mana.
Baca Juga : Soal Persamaan Kuadrat
Bentuk-bentuk Persamaan Logaritma
Bentuk Pertama
\(_{}^{a}\log{f(x)}= _{}^{a}\log{p}\Leftrightarrow f(x)=p\)
Dengan Syarat :
\(a>0\), \(a\neq1\), \(f(x)>0\)
Bentuk Kedua
\(_{}^{a}\log{f(x)}= _{}^{a}\log{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)\)
Dengan Syarat :
\(a>0\), \(a\neq1\), \(f(x)>0\) dan \(g(x)>0\)
Bentuk Ketiga
\(_{}^{h(x)}\log{f(x)}= _{}^{h(x)}\log{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)\)
Dengan Syarat :
\(h(x)>0\), \(h(x)\neq1\), \(f(x)>0\) dan \(g(x)>0\)
Bentuk Keempat
\(_{}^{a}\log{f(x)}=_{}^{b}\log{f(x)}\Rightarrow f(x)=1\)
Bentuk Kelima
Persamaan logaritma yang dapat dinyatakan dengan persamaan kuadrat :
\[A _{}^{a}\log^{2}{f(x)}+B_{}^{a}\log{f(x)}+C=0\]
\[A _{}^{a}\log^{2}{f(x)}+B_{}^{a}\log{f(x)}+C=0\]
Dengan Syarat :
\(a>0\), \(a\neq1\) dan \(f(x)>0\) dan \(A\neq0\), \(A,B,C\in R\)
Tips Mudah Mengingat Bentuk Persamaan Logaritma
Agar lebih mudah untuk mengingat bentuk-bentuk persamaan logaritma. Cara gampangnya, yaitu :
- Cek basis nya memiliki nilai yang sama atau tidak.
- Cek numerus nya lalu sesuaikan termasuk ke dalam bentuk yang mana.
- Perhatikan basis dan numerusnya sesuai dengat syaratnya tidak.
Contoh soal persamaan logaritma dan pembahasannya kelas 10
Soal Nomor 1
\(_{}^{5}\log{(3-x)}+_{}^{5}\log{(3+x)}=\\_{}^{5}\log{(4x-3)}\)
Pembahasan
\(_{}^{5}\log{(3-x)}+_{}^{5}\log{(3+x)}=_{}^{5}\log{(4x-3)}\)
\(_{}^{5}\log{(3-x)(3+x)}=_{}^{5}\log{(4x-3)}\)
\(_{}^{5}\log{(-x^{2}+9)}=_{}^{5}\log{(4x-3)}\)
\(-x^{2}+9=4x-3\)
\(-x^{2}-4x+9+3= 0\)
\(-x^{2}-4x+12= 0\)
\(x^{2}+4x-12= 0 \)
\((x+6)(x-2)= 0 \)
\(x=-6\) dan \(x=2\)
Karena yang memenuhi syarat basis dan numerus hanya \(2\). Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah \({2}\)
Soal Nomor 2
\(_{}^{3}\log{(x+3)}-3=\) \(_{}^{3}\log{(x-3)}\)
Pembahasan
\(_{}^{3}\log{(x+3)}-3=\) \(_{}^{3}\log{(x-3)}\)
\(_{}^{3}\log{(x+3)} - _{}^{3}\log{(x-3)}=3\)
\(_{}^{3}\log{\frac{x+3}{x-3}}=_{}^{3}\log{3^{3}}\)
\(_{}^{3}\log{\frac{x+3}{x-3}}=_{}^{3}\log{27}\)
\(\frac{x+3}{x-3}=27\)
\(x+3=27(x-3)\)
\(x+3=27x-81\)
\(x-27x=-81-3\)
\(-26x=-84\)
\(x=\frac{-84}{-26}=\frac{42}{13}\) \(\rightarrow\) sudah memenuhi syarat basis dan numerus
Himpunan Penyelesaian dari persamaan logaritma tersebut adalah \(\frac{42}{13}\)
Soal Nomor 3
\(_{}^{2-x}\log{(3-2x)}=_{}^{2-x}\log{(x+2)}\)
Pembahasan
\(_{}^{2-x}\log{(3-2x)}=_{}^{2-x}\log{(x+2)}\)
\(3-2x=x+2\)
\(-2x-x=2-3\)
\(-3x=-1\)
\(x=\frac{-1}{-3}= \frac{1}{3}\)
Cek Basis dan Numerus nya
\(2-x=2-\frac{1}{3}= \frac{5}{3}\) \(\rightarrow\) sudah memenuhi syarat basis
\(3-2x= 3-2(\frac{1}{3})=\frac{7}{3}\) \(\rightarrow\) memenuhi syarat numerus
Untuk numerus \((x+2)\) tidak saya hitung karena nilainya sudah pasti positif dan \( \frac{1}{3}\) adalah himpunan penyelesaiannya.
Soal Nomor 4
\(_{}^{3}\log^{2}{x}-_{}^{3}\log{x}-12=0\)
Pembahasan
\(_{}^{3}\log^{2}{x}-_{}^{3}\log{x}-12=0\)
\(_{}^{3}\log^{2}{x}-_{}^{3}\log{x}-12=0\) \(\rightarrow\) Persamaan logaritma ini termasuk ke dalam bentuk persamaan kuadrat jadi kita bisa misalkan \(_{}^{3}\log{x}=a\). Maka diperoleh :
\(a^{2}-a-12=0\)
\((a-4)(a+3)=0\)
\(a=4\) dan \(a=-3\)
Cek Numerus, caranya seperti di bawah ini :
\(_{}^{3}\log{x}=4\)
\(_{}^{3}\log{x}=_{}^{3}\log{3}^{4}\)
\(x=3^{4}\)
\(x=81\) \(\rightarrow\) memenuhi syarat numerus.
\(_{}^{3}\log{x}=-3\)
\(_{}^{3}\log{x}=_{}^{3}\log{3}^{-3}\)
\(x=3^{-3}\)
\(x=\frac{1}{3^{3}}\)
\(x=\frac{1}{27}=0,037 \) \(\rightarrow\) memenuhi numerus karena \(\frac{1}{27}\) masih lebih besar dari \(0\). Jadi himpunan penyelesainnya adalah \((81, \frac{1}{27})\).
Soal Nomor 5
Jika \(_{}^{25}\log{32}=5m\) maka \(_{}^{5}\log{4}=....\)
Pembahasan
\(_{}^{25}\log{32}=5m\)
\(_{}^{5^{2}}\log{2^{5}=5m}\)
\(\frac{5}{2}_{}^{5}\log{2}=5m\)
\(_{}^{5}\log{2}\)\(=5m\times\frac{2}{5}\)
\(_{}^{5}\log{2}=2m\)
Mencari nilai \(_{}^{5}\log{4}=\)
\(_{}^{5}\log{4}=\)
\(_{}^{5}\log{2}^{2}=\)
\(2\) \(_{}^{5}\log{2}=\)
\(2(2m)=4m\)
Soal Nomor 6
Nilai \(x\) yang memenuhi persamaan \(_{}^{2}\log{(x-2)}= _{}^{4}\log{(x+28)}\) adalah ...
Pembahasan
\(_{}^{2}\log{(x-2)}= _{}^{4}\log{(x+28)}\)
\(_{}^{2}\log{(x-2)}= _{}^{2^{2}}\log{(x+28)^{1}}\)
\(_{}^{2}\log{(x-2)}=\frac{1}{2}\) \(_{}^{2}\log{(x+28)}\)
\((x-2)=\sqrt{x+28}\) \(\rightarrow\) karena setengah ini dikalikan ke numerus bukan dikalikan ke hasil dari logaritma, maka perkaliannya berubah menjadi perpangkatan dan pangkat \(\frac{1}{2}\) adalah bentuk lain dari akar.
\((x-2)^{2}=(\sqrt{x+28})^{2}\) \(\rightarrow\) untuk menghilangkan akar maka kedua ruas dikuadratkan.
\(x^{2}-4x+4=x+28\)
\(x^{2}-4x-x+4-28=0\)
\(x^{2}-5x-24=0\)
\((x-8) (x+3) =0\)
\(x=8 \) dan \(x=-3\)
Karena \(-3\) tidak memenuhi syarat numerus jadi nilai \(x\) yang memenuhi persamaaan adalah \(8\).
Soal Nomor 7
Jika \(x_1\) dan \(x_2\) memenuhi \(2 (_{}^{4}\log{x})^{2}-3(_{}^{4}\log{x-2})-5=0\), maka nilai \(x_1.x_2=\)
Pembahasan
\(2 (_{}^{4}\log{x})^{2}-3(_{}^{4}\log{x-2})-5=0\) \(\rightarrow\) Persamaan logaritma ini masuk ke dalam bentuk persamaan kuadrat. Jadi bentuk persamaannya bisa kita misalkan menjadi \(_{}^{4}\log{x}=a\).
\(2 (_{}^{4}\log{x})^{2}-3(_{}^{4}\log{x-2})-5=0\)
\(2 (a^{2})-3(a-2)-5=0\)
\(2a^{2}-3a+6-5=0\)
\(2a^{2}-3a-1=0\)
\((2a-1)(a-1)=0\)
\((2a-1)(a-1)=0\)
\(a=\frac{1}{2}\) \(a=1\)
Mengubah \(a\) ke bentuk awal dan mencari nilai \(x\)
\(_{}^{4}\log{x}=\frac{1}{2}\)
\(_{}^{4}\log{x}=_{}^{4}\log{4^{\frac{1}{2}}}\)
\(x=\sqrt{4}\)
\(x=2\) \(\rightarrow\) \(x_1\)
\(_{}^{4}\log{x}=1\)
\(_{}^{4}\log{x}=_{}^{4}\log{4^{1}}\)
\(x=4\) \(\rightarrow\) \(x_2\)
Jadi nilai \(x_1.x_2=2\times4=8\)
Soal Nomor 8
\(_{}^{x-2}\log{(x^{2}-10x+25)}=\\ _{}^{x-2}\log{(7-x)}\)
Pembahasan
\(_{}^{x-2}\log{(x^{2}-10x+25)}= _{}^{x-2}\log{(7-x)}\)
\(x^{2}-10x+25=7-x\)
\(x^{2}-10x+x+25-7=0\)
\(x^{2}-9x+18=0\)
\((x-6)(x-3)=0\)
\(x=6\) dan \(x=3\)
Cek numerus dan basis untuk \(x=3\)
- basis
\(x-2=3-2=1\) \(\Rightarrow\) tidak memenuhi syarat basis
- numerus
\(x^{2}-10x+25=(3)^{2}-10(3)+25=4\) \(\Rightarrow\) memenuhi syarat numerus
\(7-x=7-3=4\) \(\Rightarrow\) memenuhi syarat numerus
Cek numerus dan basis untuk \(x=6\)
- basis
\(x-2=6-2=4\) \(\Rightarrow\) memenuhi syarat basis
- numerus
\(x^{2}-10x+25=(6)^{2}-10(6)+25=1\) \(\Rightarrow\) memenuhi syarat numerus
\(7-x=7-6=4\) \(\Rightarrow\) memenuhi syarat numerus
Jadi nilai \(x\) yang memenuhi persamaan logaritma tersebut adalah \(6\).
Soal Nomor 9
Jika \(_{}^{9}\log{8}= 3m\), Nilai \(_{}^{4}\log{3}\)
Pembahasan
Menyederhanakan bentuk \(_{}^{9}\log{8}= 3m\)
\(_{}^{9}\log{8}= 3m\)
\(_{}^{3^{2}}\log{2^{3}}= 3m\)
\(\frac{3}{2}_{}^{3}\log{2}= 3m\)
\(_{}^{3}\log{2}= 3m\times\frac{2}{3}\)
\(_{}^{3}\log{2}= 2m\)
Mencari nilai \(_{}^{4}\log{3}=\)
\(_{}^{4}\log{3}=\)
\(_{}^{2^{2}}\log{3}=\)
\(\frac{1}{2}_{}^{2}\log{3}=\)
\(\frac{1}{2}\frac{1}{_{}^{3}\log{2}}=\)
\(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2m}=4m\)
Soal Nomor 10
\(_{}^{5}\log{(5x-10)^{\frac{1}{2}}}=_{}^{9}\log{(5x-10)}\)
Pembahasan
\(_{}^{5}\log{(5x-10)^{\frac{1}{2}}}=_{}^{9}\log{(5x-10)}\)
\(_{}^{5}\log{(5x-10)^{\frac{1}{2}}}=_{}^{3^{2}}\log{(5x-10)}\)
\(_{}^{5}\log{(5x-10)^{\frac{1}{2}}}=_{}^{3}\log{(5x-10)^\frac{1}{2}}\)
\(5x-10=1\)
\(5x=1+10\)
\(5x=11\)
\(x=\frac{11}{5}\)
Komentar