Materi, Contoh Soal dan Pembahasan

Persamaan Logarima Kelas 10 - Logaritma adalah invers atau kebalikan dari pangkat. Misalkan perpangkatan \(3^{2}=9\) jika ditulis  ke dalam bentuk logaritma maka bentuk logaritmanya adalah \(_{}^{3}\log{9}=2\). Dimana \(3\) sebagai basis, \(9\) sebagai numerus dan \(2\) sebagai hasil logaritma.


Syarat Logaritma


Tidak bisa sembarangan angka bisa dijadikan sebagai basis dan numerus. Keduanya memiliki syarat-syarat tersendiri. Adapun untuk penjelasan syarat-syaratnya seperti di bawah.

Syarat Basis


  • Basis harus lebih dari nol artinya tidak boleh bernilai negatif dan harus positif.
  • Basis tidak boleh bernilai satu \(\neq 1\).

Syarat Numerus


  • Sama seperti basis numerus harus lebih dari \(>0\) itu artinya nilainya selalu positif. Bedanya dengan basis, numerus boleh bernilai 1 sedangkan basis tidak boleh.


Sifat-Sifat Dasar Logaritma 


Dalam mengerjakan soal persamaan logaritma kalian harus mengerti konsep sifat-sifat dasar logaritma.

1. \( _{}^{a}\log{a}=1\)
2. \(_{}^{a}\log{1}=0\)
3. \(_{}^{a}\log{bc}=_{}^{a}\log{b}+_{}^{a}\log{c}\)
4. \(_{}^{a}\log{\frac{b}{c}}=_{}^{a}\log{b}-_{}^{a}\log{c}\)
5. \(_{}^{a}\log{b^{n}}=n. _{}^{a}\log{b}\)
6. \(_{}^{a^{m}}\log{b^{n}}=\frac{n}{m}. _{}^{a}\log{b}\)
7.\(_{}^{a}\log{b}=\frac{1}{{}^{b}\log{a}}\)
8. \(_{}^{a}\log{b}. _{}^{b}\log{c}. _{}^{c}\log{d}=_{}^{a}\log{d}\)
9. \(a^{_{}^{a}\log{b}}=b\)
10.\(\frac{_{}^{a}\log{b}}{_{}^{a}\log{c}}=_{}^{c}\log{b}\)

Setelah mengetahui dan memahami sifat-sifat dasar logaritma. Kalian juga harus tau bentuk-bentuk persamaan logaritma agar nanti. Ketika dihadapkan dengan soal-soal persamaan logaritma kalian tau ini termasuk soal ke dalam bentuk persamaan logaritma yang mana. 




Bentuk-bentuk Persamaan Logaritma 


Bentuk Pertama 


\(_{}^{a}\log{f(x)}= _{}^{a}\log{p}\Leftrightarrow f(x)=p\) 

Dengan Syarat : 

\(a>0\), \(a\neq1\), \(f(x)>0\)

Bentuk Kedua 


\(_{}^{a}\log{f(x)}= _{}^{a}\log{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)\) 

Dengan Syarat :

\(a>0\), \(a\neq1\), \(f(x)>0\) dan \(g(x)>0\)

Bentuk Ketiga 


\(_{}^{h(x)}\log{f(x)}= _{}^{h(x)}\log{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)\) 

Dengan Syarat :

\(h(x)>0\), \(h(x)\neq1\), \(f(x)>0\) dan \(g(x)>0\)

Bentuk Keempat 


\(_{}^{a}\log{f(x)}=_{}^{b}\log{f(x)}\Rightarrow f(x)=1\)

Bentuk Kelima 


Persamaan  logaritma yang dapat dinyatakan dengan persamaan kuadrat :
\[A _{}^{a}\log^{2}{f(x)}+B_{}^{a}\log{f(x)}+C=0\]
Dengan Syarat :

\(a>0\), \(a\neq1\) dan \(f(x)>0\) dan \(A\neq0\), \(A,B,C\in R\)


Tips Mudah Mengingat Bentuk Persamaan Logaritma


Agar lebih mudah untuk mengingat bentuk-bentuk persamaan logaritma. Cara gampangnya, yaitu :

  1. Cek basis nya memiliki nilai yang sama atau tidak.
  2. Cek numerus nya lalu sesuaikan termasuk ke dalam bentuk yang mana.
  3. Perhatikan basis dan numerusnya sesuai dengat syaratnya tidak.


Contoh soal persamaan logaritma dan pembahasannya kelas 10


Soal Nomor 1


\(_{}^{5}\log{(3-x)}+_{}^{5}\log{(3+x)}=\\_{}^{5}\log{(4x-3)}\)

Pembahasan 

 \(_{}^{5}\log{(3-x)}+_{}^{5}\log{(3+x)}=_{}^{5}\log{(4x-3)}\)

 \(_{}^{5}\log{(3-x)(3+x)}=_{}^{5}\log{(4x-3)}\)

\(_{}^{5}\log{(-x^{2}+9)}=_{}^{5}\log{(4x-3)}\)

\(-x^{2}+9=4x-3\)

\(-x^{2}-4x+9+3= 0\)

\(-x^{2}-4x+12= 0\)

\(x^{2}+4x-12= 0 \)

\((x+6)(x-2)= 0 \)

\(x=-6\) dan \(x=2\)

Karena yang memenuhi syarat basis dan numerus hanya \(2\). Jadi  Himpunan Penyelesaiannya adalah \({2}\)

Soal Nomor 2


\(_{}^{3}\log{(x+3)}-3=\) \(_{}^{3}\log{(x-3)}\)

Pembahasan 

\(_{}^{3}\log{(x+3)}-3=\) \(_{}^{3}\log{(x-3)}\)

\(_{}^{3}\log{(x+3)} - _{}^{3}\log{(x-3)}=3\)

\(_{}^{3}\log{\frac{x+3}{x-3}}=_{}^{3}\log{3^{3}}\)

\(_{}^{3}\log{\frac{x+3}{x-3}}=_{}^{3}\log{27}\)

\(\frac{x+3}{x-3}=27\)

\(x+3=27(x-3)\)

\(x+3=27x-81\)

\(x-27x=-81-3\)

\(-26x=-84\)

\(x=\frac{-84}{-26}=\frac{42}{13}\) \(\rightarrow\) sudah memenuhi syarat basis dan numerus

Himpunan Penyelesaian dari persamaan logaritma tersebut adalah \(\frac{42}{13}\) 

Soal Nomor 3


\(_{}^{2-x}\log{(3-2x)}=_{}^{2-x}\log{(x+2)}\)

Pembahasan


 \(_{}^{2-x}\log{(3-2x)}=_{}^{2-x}\log{(x+2)}\)

\(3-2x=x+2\)

\(-2x-x=2-3\)

\(-3x=-1\)

\(x=\frac{-1}{-3}= \frac{1}{3}\)

Cek Basis dan Numerus nya

\(2-x=2-\frac{1}{3}= \frac{5}{3}\)  \(\rightarrow\) sudah memenuhi syarat basis 

\(3-2x= 3-2(\frac{1}{3})=\frac{7}{3}\) \(\rightarrow\)  memenuhi syarat numerus

 Untuk numerus \((x+2)\) tidak saya hitung karena nilainya sudah pasti positif dan \( \frac{1}{3}\) adalah himpunan penyelesaiannya.

Soal Nomor 4


\(_{}^{3}\log^{2}{x}-_{}^{3}\log{x}-12=0\)

Pembahasan

\(_{}^{3}\log^{2}{x}-_{}^{3}\log{x}-12=0\)

\(_{}^{3}\log^{2}{x}-_{}^{3}\log{x}-12=0\) \(\rightarrow\) Persamaan logaritma ini termasuk ke dalam bentuk persamaan kuadrat jadi kita bisa misalkan \(_{}^{3}\log{x}=a\). Maka diperoleh :

\(a^{2}-a-12=0\)

\((a-4)(a+3)=0\)

\(a=4\) dan \(a=-3\)

Cek Numerus, caranya seperti di bawah ini :

\(_{}^{3}\log{x}=4\)

\(_{}^{3}\log{x}=_{}^{3}\log{3}^{4}\)

\(x=3^{4}\)

\(x=81\) \(\rightarrow\) memenuhi syarat numerus. 

\(_{}^{3}\log{x}=-3\)

\(_{}^{3}\log{x}=_{}^{3}\log{3}^{-3}\)

\(x=3^{-3}\)

\(x=\frac{1}{3^{3}}\)

\(x=\frac{1}{27}=0,037 \) \(\rightarrow\) memenuhi numerus karena \(\frac{1}{27}\) masih lebih besar dari \(0\). Jadi himpunan penyelesainnya adalah \((81, \frac{1}{27})\).

Soal Nomor 5


Jika \(_{}^{25}\log{32}=5m\) maka \(_{}^{5}\log{4}=....\)

Pembahasan

\(_{}^{25}\log{32}=5m\)

\(_{}^{5^{2}}\log{2^{5}=5m}\)

\(\frac{5}{2}_{}^{5}\log{2}=5m\)

\(_{}^{5}\log{2}\)\(=5m\times\frac{2}{5}\)

\(_{}^{5}\log{2}=2m\)

Mencari nilai  \(_{}^{5}\log{4}=\)

\(_{}^{5}\log{4}=\)

\(_{}^{5}\log{2}^{2}=\)

\(2\) \(_{}^{5}\log{2}=\)

\(2(2m)=4m\)

Soal Nomor 6


Nilai \(x\) yang memenuhi persamaan \(_{}^{2}\log{(x-2)}= _{}^{4}\log{(x+28)}\) adalah ...

Pembahasan 

\(_{}^{2}\log{(x-2)}= _{}^{4}\log{(x+28)}\)

\(_{}^{2}\log{(x-2)}= _{}^{2^{2}}\log{(x+28)^{1}}\)

\(_{}^{2}\log{(x-2)}=\frac{1}{2}\)  \(_{}^{2}\log{(x+28)}\)

\((x-2)=\sqrt{x+28}\) \(\rightarrow\) karena setengah ini dikalikan ke numerus bukan dikalikan ke hasil dari logaritma, maka perkaliannya berubah menjadi perpangkatan dan pangkat \(\frac{1}{2}\) adalah bentuk lain dari akar.

\((x-2)^{2}=(\sqrt{x+28})^{2}\) \(\rightarrow\) untuk menghilangkan akar maka kedua ruas dikuadratkan.

\(x^{2}-4x+4=x+28\)

\(x^{2}-4x-x+4-28=0\)

\(x^{2}-5x-24=0\)

\((x-8) (x+3) =0\)

\(x=8 \) dan \(x=-3\)

Karena \(-3\) tidak memenuhi syarat numerus jadi nilai \(x\) yang memenuhi persamaaan adalah \(8\).

Soal Nomor 7


Jika \(x_1\) dan \(x_2\) memenuhi  \(2 (_{}^{4}\log{x})^{2}-3(_{}^{4}\log{x-2})-5=0\), maka nilai \(x_1.x_2=\)

Pembahasan

\(2 (_{}^{4}\log{x})^{2}-3(_{}^{4}\log{x-2})-5=0\) \(\rightarrow\) Persamaan logaritma ini masuk ke dalam bentuk persamaan kuadrat. Jadi bentuk persamaannya bisa kita misalkan menjadi \(_{}^{4}\log{x}=a\).

\(2 (_{}^{4}\log{x})^{2}-3(_{}^{4}\log{x-2})-5=0\)

\(2 (a^{2})-3(a-2)-5=0\)

\(2a^{2}-3a+6-5=0\)

\(2a^{2}-3a-1=0\)

\((2a-1)(a-1)=0\)

\((2a-1)(a-1)=0\)

\(a=\frac{1}{2}\) \(a=1\)

Mengubah \(a\) ke bentuk awal dan mencari nilai \(x\)

\(_{}^{4}\log{x}=\frac{1}{2}\)

\(_{}^{4}\log{x}=_{}^{4}\log{4^{\frac{1}{2}}}\)

\(x=\sqrt{4}\)

\(x=2\) \(\rightarrow\)   \(x_1\)


\(_{}^{4}\log{x}=1\)

\(_{}^{4}\log{x}=_{}^{4}\log{4^{1}}\)

\(x=4\) \(\rightarrow\)  \(x_2\)

Jadi nilai \(x_1.x_2=2\times4=8\)

Soal Nomor 8


\(_{}^{x-2}\log{(x^{2}-10x+25)}=\\ _{}^{x-2}\log{(7-x)}\)

Pembahasan

\(_{}^{x-2}\log{(x^{2}-10x+25)}= _{}^{x-2}\log{(7-x)}\)

\(x^{2}-10x+25=7-x\)

\(x^{2}-10x+x+25-7=0\)

\(x^{2}-9x+18=0\)

\((x-6)(x-3)=0\)

\(x=6\) dan \(x=3\)

Cek numerus dan basis untuk \(x=3\)

  • basis
\(x-2=3-2=1\) \(\Rightarrow\) tidak memenuhi syarat basis
  • numerus
\(x^{2}-10x+25=(3)^{2}-10(3)+25=4\) \(\Rightarrow\) memenuhi syarat numerus
    \(7-x=7-3=4\) \(\Rightarrow\) memenuhi syarat numerus


    Cek numerus dan basis untuk \(x=6\)

    • basis
    \(x-2=6-2=4\) \(\Rightarrow\) memenuhi syarat basis
    • numerus
    \(x^{2}-10x+25=(6)^{2}-10(6)+25=1\) \(\Rightarrow\) memenuhi syarat numerus
      \(7-x=7-6=4\) \(\Rightarrow\) memenuhi syarat numerus

      Jadi nilai \(x\) yang memenuhi persamaan logaritma tersebut adalah \(6\).

      Soal Nomor 9


      Jika \(_{}^{9}\log{8}= 3m\), Nilai \(_{}^{4}\log{3}\)

      Pembahasan

      Menyederhanakan bentuk \(_{}^{9}\log{8}= 3m\)

      \(_{}^{9}\log{8}= 3m\)

      \(_{}^{3^{2}}\log{2^{3}}= 3m\)

      \(\frac{3}{2}_{}^{3}\log{2}= 3m\)

      \(_{}^{3}\log{2}= 3m\times\frac{2}{3}\)

      \(_{}^{3}\log{2}= 2m\)

      Mencari nilai \(_{}^{4}\log{3}=\)

      \(_{}^{4}\log{3}=\)

      \(_{}^{2^{2}}\log{3}=\)

      \(\frac{1}{2}_{}^{2}\log{3}=\)

      \(\frac{1}{2}\frac{1}{_{}^{3}\log{2}}=\)

      \(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2m}=4m\)

      Soal Nomor 10


      \(_{}^{5}\log{(5x-10)^{\frac{1}{2}}}=_{}^{9}\log{(5x-10)}\)

      Pembahasan

      \(_{}^{5}\log{(5x-10)^{\frac{1}{2}}}=_{}^{9}\log{(5x-10)}\)

      \(_{}^{5}\log{(5x-10)^{\frac{1}{2}}}=_{}^{3^{2}}\log{(5x-10)}\)

      \(_{}^{5}\log{(5x-10)^{\frac{1}{2}}}=_{}^{3}\log{(5x-10)^\frac{1}{2}}\)

      \(5x-10=1\)

      \(5x=1+10\)

      \(5x=11\)

      \(x=\frac{11}{5}\)