Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasannya

alvininfo.com - Hallo sahabat alvininfo.com, gimana kabarnya sehat ?. Pada kesempatan kali ini saya akan membuat artikel tentang soal persamaan kuadrat tingkat sma, soal cerita persamaan kuadrat dan soal persamaan kuadrat utbk atau yang diujikan untuk seleksi masuk perguruan tinggi negeri lengkap dengan pembahasannya.


Sesuai judul artikel ini yaitu soal persamaan kuadrat berarti saya hanya akan membahas soalnya saja tanpa membahas konsep dari materi persamaan kuadrat. Jadi usahakan kalian sudah mengerti konsep dari materi persamaan kuadrat, jadi ketika berkunjung ke artikel ini kalian tidak bingung. 

Soal Persamaan Kuadrat SMA


Ada 20 soal persamaan kuadrat materi SMA. Silahkan pelajari sampai selesai....

Soal Nomor 1


Jika salah satu akar persamaan \(x^{2}-ax+a-19=0\) adalah \(-2\), maka nilai \(a\) dan akar yang lainnya adalah......

Pembahasan

Petunjuk : 

  • \(x_1.x_2=\frac{c}{a}=a-19\)
  • \(x_1+x_2=\frac{-b}{a}= a\)
  • Diketahui salah satu akarnya \(-2\)

Langkah 1 :

\(x_1.x_2=a-19\)
\(-2x_2=a-19\)
\(x_2=\frac{a-19}{-2}\)

\(x_1+x_2 = a\)
\(-2+x_2= a\)
\(x_2= a+2\)

Langkah 2 :

\(x_2=\frac{a-19}{-2}\)

\(a+2=\frac{a-19}{-2}\)

\(-2(a+2)=a-19\)
\(-2a-4=a-19\)
\(-2a-a=4-19\)
\(-3a=-15\)
\(a=5\)

Langkah 3 :

\(x^{2}-ax+a-19=0\)
\(x^{2}-5x+5-19=0\)
\(x^{2}-5x-14=0\)

Karena salah satu akarnya \(x=-2 \Rightarrow (x+2)\)

\((x+2)(x-7)=0\)

Diperoleh akar-akarnya \(x=-2\) dan \(x=7\) 

Jadi nilai \(a=5\) dan akar lainnya adalah \(7\)

Soal Nomor 2


Persamaan kuadrat \(ax^{2}-(a+1)x+3a-8=0\) mempunyai akar-akar yang saling berkebalikan, maka \(a=...\)

Pembahasan

Ingat !

\(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)

Mempunyai akar yang saling berkebalikan \(x_1=\frac{1}{x_2}\) maka \(x_1.x_2=1\)

\(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
\(1=\frac{3a-8}{a}\)
\(a=3a-8\)
\(a-3a=-8\)
\(-2a=-8\)
\(a=4\)

Soal Nomor 3


Akar-akar persamaan kuadrat \(2x^{2}-6x-p=0\) adalah \(\alpha\) dan \(\beta\). Jika \(\alpha^{2}-\beta^{2}=15\), maka \(p=...\)

Pembahasan

Petunjuk :

\(\alpha+\beta=\frac{-b}{a}=\frac{-(-6)}{2}=3\)
\(\alpha.\beta=\frac{c}{a}=\frac{-p}{2}\)

Langkah 1 :

\(\alpha^{2}-\beta^{2}=15\)
\((\alpha+\beta)(\alpha-\beta)=15\)
\((3)(\alpha-\beta)=15\)
\(\alpha-\beta=5\)

Diperoleh \(\alpha=5+\beta\)

Langkah 2 :

\(\alpha+\beta=3\)
\(5+\beta+\beta=3\)
\(5+2\beta=3\)
\(2\beta=3-5\)
\(2\beta=-2\)
\(\beta=-1\)

\(\alpha+\beta=3\)
\(\alpha-1=3\)
\(\alpha=4\)

Langkah 3 :

\(\alpha.\beta=\frac{c}{a}=\frac{-p}{2}\)
\(4.-1=\frac{-p}{2}\)
\(-4(2)=-p\)
\(-8=-p\)
\(8=p\)

Jadi diperoleh nilai \(p\) adalah \(8\)

Soal Nomor 4


Akar-akar persamaan \(2x^{2}+2px-q^{2}=0\) adalah \(p\) dan \(q\). Jika \(p-q=6\) maka nilai \(pq=...\)

Pembahasan

\(p+q=\frac{-b}{a}\)
\(p+q=\frac{-2p}{2}\)
\(p+q=-p\)
\(p+p=-q\)
\(2p=-q\)

\(p-q=6\)
\(p+2p=6\)
\(3p=6\)
\(p=2\) maka \(q=-4\)

Jadi \(pq=2 \times-4=-8\)

Soal Nomor 5


Akar-akar persamaan \((p-2)x^{2}+4x+p+2=0\) adalah \(m\) dan \(n\). Jika \(mn^{2}+nm^{2}=-20\), maka \(p=...\)

Pembahasan

Petunjuk!

\(m+n=\frac{-b}{a}=\frac{-b}{a}=\frac{-4}{p-2}\)
\(mn=\frac{c}{a}=\frac{p+2}{p-2}\)

Langkah Penyelesaian :

\(mn^{2}+nm^{2}=-20\)

\(mn(m+n)=-20\)

\(\frac{p+2}{p-2}(\frac{-4}{p-2})=-20\)

\(\frac{-4p-8}{(p-2)^{2}}=-20\)

\(-4p-8=-20(p-2)^{2}\)

\(-4p-8=-20(p^{2}-4p+4)\)

\(-4p-8=-20p^{2}+80p-80\)

\(20p^{2}-80p-4p-8+80=0\)

\(20p^{2}-84p+72=0\)

\(5p^{2}-21p+18=0\)

\((5p-6)(p-3)=0\)

\(p=\frac{6}{5}\) atau \(p=3\)

Soal Nomor 6


Akar-akar persamaan kuadrat \(x^{2}+2x-15=0\) adalah..

Pembahasan

\(x^{2}+2x-15=0\)
\((x+5)(x-3)=0\)
\(x=-5\) atau \(x=3\)

Soal Nomor 7


Persamaan kuadrat yang akarnya \(-3\) dan \(5\) adalah...

Pembahasan

\(x=-3\rightarrow x+3=0\)
\(x=5\rightarrow x-5=0\)

\((x+3)(x-5)=0\)
\(x^{2}+3x-5x-15=0\)
\(x^{2}-2x-15=0\)

Soal Nomor 8


Jika \(x=3\) adalah salah satu akar \(x^{2}-mx+12=0\) maka nilai \(m=\)

Pembahasan

\(x_1x_2=\frac{c}{a}=12\)
\(x_1x_2=12\)
\(3x_2=12\)
\(x_2=4\)

\(x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-(-m)}{1}\)
\(x_1+x_2=m\)
\(3+4=m\)
\(7=m\)

Soal Nomor 9


Akar-akar persamaan \(ax^{2}-3ax+5(a-3)=0\) adalah \(\alpha\) dan \(\beta\). Bila \(\alpha^{3}+\beta^{3}=117\), maka \(a^{2}+a=...\)

Pembahasan

Diketahui :

\(\alpha+\beta=\frac{-b}{a}=\frac{-(-3a)}{a}=3\)

\(\alpha\beta=\frac{c}{a}=\frac{5a-15}{a}\)

\(\alpha^{3}+\beta^{3}=(\alpha+\beta)(\alpha^{2}+\beta^{2}-ab)\)

\(\alpha^{3}+\beta^{3}=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^{2}-3ab)\)

Langkah Penyelesaian : 

\(\alpha^{3}+\beta^{3}=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^{2}-3ab)\)

\(117=3\hspace{2mm}((3)^{2}-3(\frac{5a-15}{a}))\)

\(117=3\hspace{2mm}(9-3(\frac{5a-15}{a}))\)

\(117=3\hspace{2mm}(9-(\frac{15a-45}{a}))\)

\(117=3\hspace{2mm}(9+\frac{-15a+45}{a})\)

\(117=3\hspace{2mm}(\frac{9a-15a+45}{a})\)

\(117=3\hspace{2mm}(\frac{-6a+45}{a})\)

\(117=\frac{-18a+135}{a}\)

\(117a=-18a+135\)

\(135a=135\) 

\(a=1\)

Jadi nilai  \(a^{2}+a=1^{2}+1=2\)

Soal Nomor 10


Persamaan \(2x^{2}+qx+(q-1)=0\) mempunyai akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Jika \(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}=4\), maka nilai \(q=...\)

Pembahasan

\(x_1+x_2=\frac{-q}{2}\)

\(x_1x_2=\frac{q-1}{2}\)

Langkah Penyelesaian :

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}=(\frac{-q}{2})^{2}-2(\frac{q-1}{2})\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}=\frac{q^{2}}{4}-(\frac{2q-2}{2})\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}=\frac{2q^{2}-8q+8}{8}\)

\(4=\frac{2q^{2}-8q+8}{8}\)

\(32=2q^{2}-8q+8\) \(:2\)

\(16=q^{2}-4q+4\)

\(q^{2}-4q+4-16=0\)

\(q^{2}-4q-12=0\)

\((q-6)(q+2)=0\)

\(q=6\) dan \(q=-2\)

Soal Nomor 11


Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat \(2x^{2}-9x+c=0\) adalah \(121\), maka \(c=....\)

Pembahasan

Diketahui :

\(a=2\)
\(b=-9\)
\(c=c\)

Ditanya :

Nilai \(c\)

Langkah Penyelesaian :

\(b^{2}-4ac=121\)
\(-9^{2}-4(2)(c)=121\)
\(81-8c=121\)
\(-8c=121-81\)
\(-8c=40\)
\(c=-5\)

Soal Nomor 12


Persamaan \((1-m)x^{2}+(8-2m)x+12=0\) mempunyai akar kembar, maka nilai \(m\) adalah 

Pembahasan

Diketahui :

\(a=1-m\)
\(b=8-2m\)
\(c=12\)

Ditanya :

Nilai \(m\)

Langkah Penyelesaian :

Karena persamaan kuadrat tersebut memiliki akar kembar maka \(D=0\)

\(b^{2}-4ac=0\)
\((8-2m)^{2}-4(1-m)(12)=0\)
\(64-32m+4m^{2}-(4-4m)(12)=0\)
\(64-32m+4m^{2}-(48-48m)=0\)
\(64-32m+4m^{2}-48+48m=0\)
\(4m^{2}+16m+16=0\) \(:4\)
\(m^{2}+4m+4=0\)
\((m+2)(m+2)=0\)
\(m=-2\)

Soal Nomor 13


Jika \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar persamaan kuadrat \(x^{2}+x-p=0\), \(p\) konstanta positif, maka \(\frac{x_1}{x_2}\) dan \(\frac{x_2}{x_1}=......\)

Pembahasan

\(\frac{x_1}{x_2}\) dan \(\frac{x_2}{x_1}=..\) artinya \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}}{x_1x_2}\)

Diketahui : 

\(x_1+x_2=-1\)
\(x_1x_2=-p\)

Langkah Penyelesaian :

\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}}{x_1x_2}\)

\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2}{x_1x_2}\)

\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{(-1)^{2}-2(-p)}{-p}\)

\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{1+2p}{-p}=\frac{-1}{p}-2\)

Soal Nomor 14


Jumlah dari kebalikan akar-akar persamaan kuadrat  \((n-1)x^{2}-(2n+1)x+3n+2=0\), \(n \neq 1\) adalah \(2\). Nilai \(n\) sama dengan ...

Pembahasan

Petunjuk :

Jumlah dari kebalikan akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah \(2\) 👉 \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2\)

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2\)

\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2\)

\(\frac{\frac{-b}{a}}{\frac{c}{a}}=2\)

\(\frac{-b}{c}=2\)

\(\frac{2n+1}{3n+2}=2\)

\(2n+1=2(3n+2)\)

\(2n+1=6n+4\)

\(2n-6n=4-1\)

\(-4n=3\)

\(n=\frac{-3}{4}\)

Soal Nomor 15 


Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan \(x^{2}-3x+n=0\) sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan \(x^{2}+x-n=0\), maka nilai \(n\) adalah ....

Pembahasan

Penjumlahan dan perkalian akar-akar dari persamaan kuadrat \(x^{2}-3x+n=0\) :

\(x_1+x_2=3\)
\(x_1x_2=n\)

Penjumlahan dan perkalian akar-akar dari persamaan kuadrat \(x^{2}+x-n=0\) :

\(x_1+x_2=-1\)
\(x_1x_2=-n\)

Langkah Penyelesaian : 

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}=x_1^{\hspace{1mm}3}+x_2^{\hspace{1mm}3}\)

\((x_1+x_2)^{\hspace{1mm}2}-2x_1x_2= (x_1+x_2)((x_1+x_2)^{\hspace{1mm}2}-3x_1x_2)\)

\((3)^{\hspace{1mm}2}-2n= (-1)((-1)^{\hspace{1mm}2}-3(-n))\)

\(9-2n= (-1)(1+3n)\)

\(9-2n= -1-3n\)

\(3n-2n= -1-9\)

\(n= -10\)

Soal Nomor 16


Jika \(a\) dan \(b\) merupakan akar-akar real persamaan \(x^{2}+x=\frac{2}{x^{2}+x+1}\), maka nilai \(ab\) adalah 

Pembahasan

\(x^{2}+x=p\)

\(x^{2}+x=\frac{2}{x^{2}+x+1}\)

\(p=\frac{2}{p+1}\)

\(p(p+1)= 2\)

\(p^{2}+p= 2\)

\(p^{2}+p-2= 0\)

\((p+2)(p-1)= 0\)

\((x^{2}+x+2)(x^{2}+x-1)=0\)

Untuk \(x^{2}+x+2\) memiliki akar-akar tidak real karena \(D<0\)  sedangkan pada soal keterangannya akar-akar dari persamaan tersebut real dan yang memenuhi syarat tersebut adalah persamaan \(x^{2}+x-1\) karena \(D>0\).

Jadi nilai \(ab\) adalah \(-1\)

Soal Nomor 17


Persamaan kuadrat \(3x^{2}-(a-1)x-1=0\) mempunyai akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\), sedangkan persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(\frac{1}{x_1}\) dan \(\frac{1}{x_2}\)  adalah \(x^{2}-(2b+1)x+b=0\). Nilai dari \(2a+b=...\)

Pembahasan

Akar-akar dari persamaan kuadrat \(x^{2}-(2b+1)x+b=0\) adalah kebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat  \(3x^{2}-(a-1)x-1=0\). 

Jadi agar senilai tuker nilai \(a\) dan \(c\) persamaan kuadrat yang nilai \(a\) dan \(c\) nya diketahui yaitu \(3x^{2}-(a-1)x-1=0\) menjadi \(-x^{2}-(a-1)x+3=0 \Rightarrow x^{2}+(a-1)x-3=0\).

Karena kedua persamaan tersebut akar-akarnya sudah senilai, maka diperoleh :

\(b=-3\)
\(-2b-1=a-1\)

Mencari nilai \(a\) :

\(-2b-1=a-1\)
\(-2(-3)-1=a-1\)
\(6-1=a-1\)
\(6=a\)

Jadi nilai \(2a+b=2(6)-3=9\)

Soal Nomor 18


Jika \(x_1\) dan \(x_2\)  akar-akar persamaan kuadrat \(x^{2}-4x+3=0\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(x_1\hspace{0.3mm}^{2}\) dan \(x_2\hspace{0.3mm}^{2}\) adalah ...

Pembahasan

\(x^{2}-4x+3=0\)
\((x-1)(x-3)=0\)
\(x_1=1\) dan \(x_2=3\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}=1^{2}=1 \Rightarrow x-1=0\)
\(x_2^{\hspace{1mm}2}=3^{2}=9 \Rightarrow x-9=0\)

Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(x_1^{\hspace{1mm}2}\) dan \(x_2^{\hspace{1mm}2}\)

\((x-1)(x-9)=x^{2}-10x+9\)

Soal Nomor 19


Akar-akar persamaan kuadrat \(x^{2}+2x+3=0\) adalah \(a\) dan \(b\). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \((a-2)\) dan \((b-2)\) adalah...

Pembahasan

Untuk mendapatkan persamaan kuadrat baru, kita membutuhkan penjumlahan dan perkalian kedua akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Diketahui :

\(a+b=-2\)
\(ab=3\)

Maka untuk mendapatkan persamaan kuadrat baru kita mesti mengalikan dan menjumlahkan akar-akar persamaan kuadrat barunya \((a-2)\) dan \((b-2)\).

\((a-2)+(b-2)=\)
\(a+b-4=\)
\(-2-4=-6\)

Karena rumus penjumlahan akar-akar atau \(b\) nilainya negatif maka diperoleh nilai \(b=6\)

\((a-2)(b-2)=\)
\(ab-2a-2b+4=\)
\(ab-2(a+b)+4=\)
\(3-2(-2)+4=\)
\(3+4+4=11\)

Jadi persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \((a-2)\) dan \((b-2)\) adalah :

\(x^{2}+6x+11=0\)

Soal Nomor 20


Persamaan kuadrat \(x^{2}-5x+6=0\) mempunyai akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\). Persamaaan kuadrat yang akar-akarnya \(x_1-3\) dan \(x_2-3\) adalah...

Pembahasan

\(x^{2}-5x+6=0\)
\((x-2)(x-3)=0\)
\(x_1=2\) dan \(x_2=3\)

Seperti biasa untuk mendapatkan persamaan kuadrat baru kita perlu mengalikan dan menjumlahkan akar-akarnya :

\(x_1-3=2-3=-1 \Rightarrow x+1\)
\(x_2-3=3-3=0 \Rightarrow x+0\)

\((x+1)(x+0)=x^{2}+x\)

Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(x_1-3\) dan \(x_2-3\) adalah \(x^{2}+x\)


Soal Persamaan Kuadrat UTBK


Ada 17 soal persamaan kuadrat UTBK atau yang diujikan untuk masuk perguruan tinggi negeri. Silahkan pelajari sampai selesai......

Soal Nomor 1


Jika \(x_1\) dan \(x_2\) merupakan akar-akar persamaan \(4x^{2}+bx+4=0\), \(b\neq0\), maka \(x_1\hspace{0.2mm}^{-1}+x_2\hspace{0.2mm}^{-1}=16(x_1\hspace{0.2mm}^{3}+x_2\hspace{0.2mm}^{3}) \)  berlaku untuk  \(b^{2}-b\) sama dengan .. UMPTN 1992 Rayon A

Pembahasan

Diketahui : 

\(x_1+x_2=\frac{-b}{4}\)
\(x_1x_2=1\)

Langkah Penyelesaian :

\(x_1\hspace{0.2mm}^{-1}+x_2\hspace{0.2mm}^{-1}=16(x_1\hspace{0.2mm}^{3}+x_2\hspace{0.2mm}^{3}) \)

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}= 16(x_1\hspace{0.2mm}^{3}+x_2\hspace{0.2mm}^{3}) \)

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}= 16((x_1+x_2)((x_1+x_2)\hspace{0.2mm}^{2}-3x_1x_2))\)

\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}= 16((x_1+x_2)((x_1+x_2)\hspace{0.2mm}^{2}-3x_1x_2))\)

\(\frac{\frac{-b}{4}}{1}= 16((\frac{-b}{4})((\frac{-b}{4})\hspace{0.2mm}^{2}-3(1)))\)

\(\frac{-b}{4}= 16((\frac{-b}{4})(\frac{b^{2}}{16}-3))\)

\(\frac{-b}{4}= 16(\frac{-b^{3}}{64}+\frac{3b}{4})\)

\(\frac{-b}{4}= \frac{-16b^{3}}{64}+\frac{48b}{4}\)

\(\frac{-b}{4}= \frac{-b^{3}}{4}+12b \hspace{2mm} \times 4\)

\(-b = -b^{3}+48b\)

\(b^{3}- 49b =0\)

\(b(b^{2}- 49) =0\)

\(b(b-7)(b+7) =0\)

\(b=0\), \(b=7\), dan \(b=-7\)

Subsitusikan \(b=7\), dan \(b=-7\) ke \(b^{2}-b\). Untuk \(b=0\) tidak usah dihitung karena pasti nilainya nol.

\(b^{2}-b=7^{2}-7=42\)
\(b^{2}-b=-7^{2}-(-7)=56\)

Jadi \(b^{2}-b\) sama dengan \(42\) atau \(56\)

Soal Nomor 2


Akar-akar persamaan kuadrat \(x^{2}+bx+c=0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\). Persamaan kuadrat dengan akar-akar \(x_1+x_2\) dan \(x_1.x_2\) adalah...... UMPTN Rayon B 1992

Pembahasan

\(x_1+x_2=-b\)
\(x_1x_2=c\)

Maka diperoleh akar-akar persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \(x_1+x_2\) dan \(x_1.x_2\) yaitu \(x_1=-b\) dan \(x_2=c\).

\(x=-b \Rightarrow x+b=0\)
\(x=c \Rightarrow x-c=0\)

\((x+b)(x-c)=x^{2}-cx+bx-bc\)
\((x+b)(x-c)=x^{2}+x(b-c)-bc\)

Jadi persamaan kuadrat barunya adalah \(x^{2}+x(b-c)-bc\)

Soal Nomor 3


Kedua persamaan \(x^{2}+2x+k=0\) dan \(x^{2}+x-2k=0\) mempunyai akar-akar real untuk ...

Pembahasan

Syarat persamaan kuadrat mempunyai akar real \(D \geq 0\).

Mencari nilai diskiriminan dari persamaan kuadrat \(x^{2}+2x+k=0\) :

\(b^{2}-4ac\geq 0\)
\(2^{2}-4(1)(k)\geq 0\)
\(4-4k\geq 0\)
\(-4k\geq -4\) 
\(k \leq 1\)

Mencari nilai diskiriminan dari persamaan kuadrat \(x^{2}+x-2k=0\) :

\(b^{2}-4ac \geq 0\)
\(1^{2}-4(1)(-2k) \geq 0\)
\(1+8k \geq 0\)
\(8k \geq -1\)
\(k \geq \frac{-1}{8}\)

Jadi persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar-akar real untuk \( \frac{-1}{8} \leq  k \leq 1\)

Soal Nomor 4


\(x^{2}+(2a-1)x+a^{2}-3a-4=0\) akan mempunyai akar-akar yang real jika nilai \(a\) memenuhi....

Pembahasan

Syarat agar persamaan kuadrat memiliki akar real \(D\geq0\) :

\(D \geq 0\)
\(b^{2}-4ac \geq 0\)
\((2a-1)^{2}-4(1)(a^{2}-3a-4) \geq 0 \)
\(4a^{2}-4a+1-4a^{2}+12a+16 \geq 0 \)
\(8a+17 \geq 0 \)
\(8a \geq -17 \)
\(a \geq \frac {-17}{8}\)
\(a \geq -2\tfrac {1}{8}\)

Soal Nomor 5


Diketahui \(1+\sqrt{2}\) adalah salah satu akar \(x^{2}+ax+b=0\) dengan \(b\) bilangan real negatif dan \(a\) suatu bilangan bulat. Nilai terkecil \(a\) adalah... SBMPTN 2016 Kode 337

Pembahasan

\(1+\sqrt{2}\) adalah salah satu akar \(x^{2}+ax+b=0\) dan \(b\) bilangan real negatif. Karena salah satu akarnya \(1+\sqrt{2}\) bernilai positif maka akar lainnya harus negatif agar nilai \(b=\frac{c}{a}\) nya juga negatif seperti yang diketahui pada soal. 

  • \(1+\sqrt{2}=1+1,4=2,4\) adalah \(x_1\). Maka diperoleh \(x=2,4 \Rightarrow x-2,4=0\)
  • Akar lainnya adalah \(x_2\), misalkan \(x_2=m\). Ingat \(x_2\) nilainya negatif karena hasil dari perkalian akar-akarnya atau nilai \(b\) nya negatif, maka diperoleh \(x=-m \Rightarrow x+m=0\) dan \(m>0\) agar nilainya \(m\) selalu negatif.
Jika disusun persamaan kuadrat, bentuknya seperti di bawah ini  :

\((x-2,4)(x+m)=0\)
\(x^{2}+mx-2,4x-2,4m=0\)
\(x^{2}+(m-2,4)x-2,4m=0\)

Persamaan kuadrat di atas nilainya pasti sama dengan persamaan kuadrat \(x^{2}+ax+b=0\) karena disusun oleh akar-akarnya sendiri. 

\(x^{2}+(m-2,4)x-2,4m=x^{2}+ax+b\)

Karena yang dicari hanya nilai \(a\) maka cukup pasangkan bagian \(ax\) dengan \((m-2,4)x\)

\((m-2,4)x=ax\)
\(m-2,4=a\)

Ingat \(a\) suatu bilangan bulat dan \(m>0\), maka jika kita ambil nilai \(m=0,4\) agar diperoleh \(a\) bilangan bulat maka nilai \(a=-2\). Jadi nilai terkecil \(a=-2\).

Soal Nomor 6


Diketahui \(7-\sqrt{7}\) adalah salah satu akar \(x^{2}+ax+b=0\) dengan \(b\) bilangan real negatif dan \(a\) suatu bilangan bulat. Nilai terkecil \(a\) adalah.... SBMPTN 2016 Kode 326

Pembahasan

Hasil dari perkalian akar-akar dari persamaan kuadrat \(x^{2}+ax+b=0\) adalah bilangan real negatif dan hasil penjumlahan akar-akarnya bilangan bulat. 

Agar hasil perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut bilangan real negatif maka salah satu akarnya bernilai negatif  dan satu lainnya positif. 

\(7-\sqrt{7}\) adalah satu akarnya jika dihitung hasilnya pasti positif, maka akar satunya lagi harus bernilai negatif.

Misalkan : 

\(x_1=7-\sqrt{7}=4,35\hspace{1mm}\Rightarrow x-4,35=0\)
\(x_2=-m \hspace{1mm}\Rightarrow x+m=0\) dengan syarat \(m>0\) agar nilainya selalu negatif

\((x-4,35)(x+m)=0\)
\(x^{2}+mx-4,35x-4,35m=0\)
\(x^{2}+(m-4,35)x-4,35m=0\)

Maka diperoleh :

\(a=m-4,35\)

Karena \(a\) bilangan bulat terkecil dan \(m>0\), maka pilih \(m=0,35\). Jadi nilai \(a\) terkecil adalah \(-4\).

Soal Nomor 7


Jika akar-akar  \(3x^{2}+ax-2=0\) dan \(2x^{2}+6x+3b=0\) saling berkebalikan, maka \(b-a=...\) SBMPTN 2016 Kode 322

Pembahasan

Karena akar-akarnya saling berkebalikan, jadi agar senilai kita tuker nilai \(a\) dan \(c\) dari salah satu persamaan kuadrat yang diketahui nilai \(a\) dan \(c\) nya yaitu \(3x^{2}+ax-2=0\).

\(3x^{2}+ax-2=0\)
\(-2x^{2}+ax+3=0 \hspace{1mm} \times -1\)
\(2x^{2}-ax-3=0\)

Karena nilai \(a\) dan \(c\) nya sudah ditukar jadi bentuknya sudah senilai. 

\(2x^{2}-ax-3=2x^{2}+6x+3b\)

Diperoleh :

\(-a=6 \Rightarrow a=-6\)
\(3b=-3 \Rightarrow b=-1\)

Jadi nilai \(b-a=-1-(-6)=5\)

Soal Nomor 8


Jika \(a\) dan \(b\) adalah bilangan prima dan semua akar \(x^{2}-ax+b=0\) merupakan bilangan bulat positif, maka nilai \(ab^{2}\) adalah.... SBMPTN 2015 Kode 610

Pembahasan

Jika melihat persamaan kuadrat \(x^{2}-ax+b=0\),  maka hanya ada satu kemungkinan, yaitu dua bilangan prima yang punya selisih \(1\), yaitu \(2\) dan \(3\), dan ketika disubstitusi ke dalam persamaan kuadrat tersebut.

Jadi, \(x^{2}-3x+2=0\) menghasilkan \(a=3\), \(b=2\) diperoleh \(ab^{2}=3\times 2^{2}=12\)

Soal Nomor 9


Jika \(a\) dan \(b\) akar-akar persamaan kuadrat \(x^{2}+x-3=0\), maka \(2a^{2}+b^{2}+a=.....\) SBMPTN 2014 Kode 663 

Pembahasan

\(a+b=-1\Rightarrow b=a+1\)
\(ab=-3\)

\(2a^{2}+b^{2}+a=.....\)
\(a^{2}+b^{2}+a^{2}+a=.....\)
\((a+b)^{2}-2ab+a(a+1)=.....\)
\((a+b)^{2}-2ab+ab=.....\)
\((-1)^{2}-2(3)-3=1+6-3=4\)

Soal Nomor 10


Misalkan selisih kuadrat akar-akar persaman \(x^{2}-(2m+4)x+8m=0\) sama dengan \(20\), maka nilai \(m^{2}-4=.....\) SIMAK UI 2009 Kode 921

Pembahasan

\(x_1^{\hspace{1mm}2}-x_2^{\hspace{1mm}2}=(x_1+x_2)(x_1-x_2)\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}-x_2^{\hspace{1mm}2}=(\frac{-b}{a})(\frac{\sqrt{D}}{a})\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}-x_2^{\hspace{1mm}2}=(2m+4)\sqrt{(-2m-4)^{2}-4(1)(8m)}\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}-x_2^{\hspace{1mm}2}=(2m+4)\sqrt{4m^{2}+16m+16-32m}\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}-x_2^{\hspace{1mm}2}=(2m+4)\sqrt{4m^{2}-16m+16}\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}-x_2^{\hspace{1mm}2}=(2m+4)\sqrt{4(m^{2}-4m+4)}\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}-x_2^{\hspace{1mm}2}=(2m+4)\sqrt{4(m-2)^{2}}\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}-x_2^{\hspace{1mm}2}=(2m+4)2(m-2)\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}-x_2^{\hspace{1mm}2}=(2m+4)(2m-4)\)

\(20=(2m+4)(2m-4)\)

\(20=4m^{2}-8m+8m-16\)

\(20+16=4m^{2}\)

\(36=4m^{2}\)

\(m^{2}=9\)

Jadi \(m^{2}-4=9-4=5\)

Soal Nomor 11


Jika selisih akar-akar \(x^{2}+2cx+(19+c)=0\) adalah \(2\), maka nilai \(30+c-c^{2}\) adalah... SBMPTN 2013 Kode 427

Pembahasan

\(x_1-x_2=\frac{\sqrt{D}}{a}\)

\(x_1-x_2=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}\)

\(2=\frac{\sqrt{(2c)^{2}-4(1)(19+c)}}{1}\)

\(2=\sqrt{4c^{2}-(76+4c)}\)

\(4=4c^{2}-(76+4c)\)

\(4=4c^{2}-76-4c\)

\(4+76=4c^{2}-4c\)

\(80=4c^{2}-4c\)

\(20=c^{2}-c\)      \(\times -1\)

\(-20=-c^{2}+c\)

\(-20+30=-c^{2}+c+30\)

\(10=c-c^{2}+30\)

Soal Nomor 12


Jumlah kuadrat akar-akar persamaan \(x^{2}-3x+n=0\) sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat \(x^{2}+x-n=0\) maka nilai \(n=....\) UM-UGM 2006 

Pembahasan

Penjumlahan dan perkalian akar-akar dari persamaan kuadrat \(x^{2}-3x+n=0\)

\(x_1+x_2=3\)
\(x_1+x_2=n\)

Penjumlahan dan perkalian akar-akar dari persamaan kuadrat \(x^{2}+x-n=0\)

\(x_1+x_1=-1\)
\(x_1x_2=-n\)

Langkah penyelesaian :

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}=x_1^{\hspace{1mm}3}+x_2^{\hspace{1mm}3}\)

\((x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^{2}-3x_1x_2)\)

\((3)^{2}-2(n)=(-1)((-1)^{2}-3(-n))\)

\(9-2n=-1(1+3n)\)

\(9-2n=-1-3n\)

\(-2n+3n=-1-9\)

\(n=-10\)

Soal Nomor 13


Nilai \(a\) agar persamaan kuadrat \(x^{2}-8x+2a=0\) mempunyai dua akar berlainan dan positif adalah.... UM UGM 2006 Kode 382 

Pembahasan

Syarat agar dua akarnya berlainan \(D>0\)

\(b^{2}-4ac>0\)
\((-8)^{2}-4(1)(2a)>0\)
\(64-8a>0\)
\(-8a>-64\)
\(a<8\)

Syarat agar dua akarnya positif 

\(x_1x_2>0\)
\(2a>0\)
\(a>0\)

Maka nilai \(a\) harus \(0<a<8\)

Soal Nomor 14


Jika \(a=2+\sqrt{7}\) dan \(b=2-\sqrt{7}\), maka \(a^{2}+b^{2}-4ab =....\) UM UGM 2003 

Pembahasan

\((a+b)^{2}= (2+\sqrt{7}+2-\sqrt{7})^{2}\)
\((a+b)^{2}= (4)^{2}\)
\((a+b)^{2}= 16\)

\(ab=(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})\)
\(ab=(2)^{2}-(\sqrt{7})^{2}\)
\(ab=4-7\)
\(ab=-3\)

\(a^{2}+b^{2}-4ab =(a+b)^{2}-6ab\)
\(a^{2}+b^{2}-4ab =16-6(-3)=16+18=34\)

Soal Nomor 15 


\(x_1\)  dan  \(x_2\) adalah akar \(2x^{2}-(2c-1)x-c^{3}+4=0\) maka nilai maksimum dari \(x_1\hspace{0.2mm}^{2}+x_2\hspace{0.2mm}^{2}\) adalah.... SIMAK UI 2017 

Pembahasan

Menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan berikut :

\(x_1+x_2=\frac{2c-1}{2}\)

\(x_1x_2=\frac{4-c^{3}}{2}\)

Selanjutnya menghitung nilai \(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}=(\frac{2c-1}{2})^{2}-2\frac{(4-c^{3})}{2}\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}=\frac{4c^{2}-4c+1}{4}-\frac{(8-2c^{3})}{2}\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}= \frac{4c^{2}-4c+1-2(8-2c^{3})}{4}\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}= \frac{4c^{2}-4c+1-(16-4c^{3})}{4}\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}= \frac{4c^{2}-4c+1-16+4c^{3}}{4}\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}= c^{3}+c^{2}-c-\frac{15}{4}\)

Selanjutnya menentukan nilai \(c\) yang memenuhi :

\(\frac{d}{dc}(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2})=0\)

\(3c^{2}+2c-1=0\)

\((3c-1)(c+1)=0\)

\(c=\frac{1}{3}\) atau \(c=-1\)

Selanjutnya menguji turunan kedua :

\(\frac{d^{2}}{dc^{2}}=6c+2\)

\(c=\frac{1}{3}\)

Menguji nilai minimum atau maksimum fungsi di titik \(c=\frac{1}{3}\) sebagai berikut :

\(\frac{d^{2}}{dc^{2}}=6(\frac{1}{3})+2=4>0 \rightarrow\) sehingga fungsi mencapai minimum saat \(c=\frac{1}{3}\)

Selanjutnya menguji nilai maksimum fungsi di titik \(c=-1\) sebagai berikut :

\(\frac{d^{2}}{dc^{2}}=6(-1)+2=-4<0\)

Terbukti bahwa fungsi mencapai maksimum di titik \(c=-1\), sehingga kuadrat jumlah akar fungsi kuadrat agar bernilai maksimum dapat ditentukan sebagai berikut :

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}= c^{3}+c^{2}-c-\frac{15}{4}\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}= (-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)-\frac{15}{4}\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}= -1+1+1-\frac{15}{4}\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}= 1-\frac{15}{4}\)

\(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}= -\frac{11}{4}=-2\tfrac{3}{4}\)

Jadi, dari perhitungan diperoleh nilai maksimum dari \(x_1^{\hspace{1mm}2}+x_2^{\hspace{1mm}2}= -2\tfrac{3}{4}\)

Soal Nomor 16


Diketahui \(p>0\) serta \(p\) dan \(p^{2}-2\) merupakan akar \(x^{2}-10x+c=0\). Jika \(c\) merupakan salah satu akar \(x^{2}+ax+42=0\), maka nilai \(a\) adalah.... SBMPTN 2018 Kode 527

Pembahasan

\(p+p^{2}-2=10\)
\(p+p^{2}-2-10=0\)
\(p^{2}+p-12=0\)
\((p+4)(p-3)=0\)
\(p=-4\) atau \(p=3\)

Diketahui \(p>0\) maka yang memenuhi \(p=3\)

Mencari nilai \(c\) :

\(p(p^{2}-2)= \)
\(3(3^{2}-2) = \)
\(3(9-2)=21\)

Mencari nilai \(a\) :

\(x_1x_2=42\)
\(21x_2=42\)
\(x_2=2\)

Kedua akarnya sudah diketahui \(x_1=21\) dan \(x_2=2\) untuk mencari nilai \(a\) gunakan rumus penjumlahan akar-akar :

\(x_1+x_2=\frac{-b}{a}\)
\(21+2=\frac{-a}{1}\)
\(23=-a\)
\(a=-23\)

Soal Nomor 17


Persamaan kuadrat \(2x^{2}-px+1=0\) dengan \(p>0\), mempunyai akar-akar \(a\) dan \(b\). Jika \(x^{2}-5x+q=0\) mampunyai akar-akar \(\frac{1}{a^{2}}\) \(\frac{1}{b^{2}}\) , maka \(q-p=....\) SBMPTN 2014 Kode 652

Pembahasan

\(a+b=\frac{p}{2}\)

\(ab=\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=5\)

\(\frac{1}{a^{2}b^{2}}=q\)

Mencari nilai \(q\) :

\(\frac{1}{a^{2}b^{2}}=q\)

\(\frac{1}{(ab)^{2}}=q\)

\(\frac{1}{(\frac{1}{2})^{2}}=q\)

\(\frac{1}{\frac{1}{4}}=q\)

\(\frac{1}{\frac{1}{4}}=q\)

\(q=4\)

Mencari nilai \(p\)

\(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=5\)

\(\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}=5\)

\(\frac{(a+b)^{2}-2ab}{(ab)^{2}}=5\)

\(\frac{(\frac{p}{2})^{2}-2(\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2})^{2}}=5\)

\(\frac{\frac{p^{2}}{4}-1}{\frac{1}{4}}=5\)

\(p^{2}- 4=5\)

\(p^{2}- 9=0\)

\((p- 3)(p+3)=0\)

\(p=3\)
\(p=-3 \hspace{2mm}\rightarrow\) Tidak memenuhi karena \(p>0\)

Jadi \(q-p=4-3=1\)


Soal Cerita Persamaan Kuadrat 


Soal Nomor 1


Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya \(72\hspace{1mm}m^{2}\). Jika panjangnya tiga kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang tersebut adalah ..... \(m\).

Pembahasan

Persegi panjang luasnya \(72m^{2}\). 
Panjangnya tiga kali lebarnya \(\rightarrow p=3l\)

\(pl=72\)
\(3l^{2}=72\)
\(l^{2}=24\)
\(l=\sqrt{24}\)

maka panjangnya \(3\sqrt{24}\)

Mencari panjang diagonal bidang tersebut :

\(d=\sqrt{p^{2}+l^{2}}\)

\(d=\sqrt{9.24+24}\)

\(d=\sqrt{240}\)

\(d=4\sqrt{15}\)

Soal Nomor 2


Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas \(192\hspace{1mm}m^{2}\). Selisih panjang dan lebarnya adalah \(4 \hspace{1mm} m\). Apabila disekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar \(2\hspace{1mm}m\), maka luas jalan tersebut adalah....\(m^{2}\)

Pembahasan

Persegi panjang dengan luas \(192m^{2}\)
Selisih panjang dengan lebarnya adalah \(4m \rightarrow p-l=4\)

\(pl=192\)
\((4+l)l=192\)
\(4l+l^{2}=192\)
\(l^{2}+4l-192=0\)
\((l+16)(l-12)=0\)
\(l=-16 \rightarrow \) Tidak memenuhi
\(l=12\)

Mencari panjanganya :

\(p=l+4\)
\(p=12+4=16\)

Mencari luas jalan :




Luas bagian dalam : 

\(12 \times 8 = 96 m^{2}\)

Maka luas jalan :

\(192-96=96m^{2}\)

Soal Nomor 3


Keliling segitiga ABC pada gambar adalah \(8\hspace{1mm} cm\). Panjang sisi AB=...cm.

Pembahasan

Keliling segitiga  ABC \( = 8cm\)

AB = AC = a cm

\(BC=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2a^{2}}=a\sqrt{2}\)

Mencari panjang sisi AB :

Keliling segitiga = AB + AC + BC

\(8=a+a+a\sqrt{2}\)

\(8=2a+a\sqrt{2}\)

\(8=a(2+\sqrt{2})\)

\(a=\frac{8}{2+\sqrt{2}}\)

\(a=\frac{8}{2+\sqrt{2}}\times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\)

\(a=\frac{8(2-\sqrt{2})}{4-2}= 8-4\sqrt{2} cm \)

Soal Nomor 4


Kalau jumlah dua bilangan bulat adalah \(9\) dan hasil perkalian kedua bilangan tersebut adalah \(14\) maka jumlah kuadrat dua bilangan tersebut adalah...

Pembahasan

\(a+b=9\)
\(ab=14\)

\(a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab\)
\(a^{2}+b^{2}=(9)^{2}-2(14)\)
\(a^{2}+b^{2}=81-28=53\)
 

Soal Nomor 5


Selisih tiga kali kuadrat suatu bilangan dengan tiga belas kali bilangan itu sama dengan \(-4\). Tentukan bilangan tersebut !

Pembahasan

\(3a^{2}-13a=-4\)
\(3a^{2}-13a+4=0\)
\((3a-1)(a-4)=0\)
\(a=\frac{1}{3}\) atau \(a=4\)




Penutup


Cukup sampai disini pembahasan mengenai soal persamaan kuadrat, apabila ada yang tidak jelas silahkan ditanyakan dan jangan lupa dishare ke teman-temannya. Terimakasih 😀