Soal Induksi Matematika Pertidaksamaan dan Pembahasannya

alvininfo.com - Induksi matematika adalah sebuah langkah-langkah yang dimulai dengan sesuatu yang umum lalu dilanjutkan dengan hal yang khusus dan digunakan sebagai pembuktian pernyataan benar atau salah. 

Pada prosesnya, kesimpulan diambil berdasarkan benarnya pernyataan yang berlaku secara universal sehingga untuk pernyataan khusus juga dapat berlaku benar. Selain itu, suatu variabel dalam induksi matematika juga diasumsikan sebagai sebuah anggota dari himpunan bilangan asli. 


Karena ada berbagai macam masalah matematis yang bisa diselesaikan menggunakan induksi matematika. Oleh sebab itu, maka induksi matematika dibagi menjadi tiga macam yaitu deret, pembagian dan pertidaksamaan.

Pada artikel kali ini, saya hanya akan membahas induksi matematika pertidaksamaan. Induksi matematika pertidaksamaan ditandai dengan tanda lebih dari \(>\) atau kurang dari \(<\) yang ada pernyataannya.

Metode dalam Mengerjakan Induksi Matematika 


  1. Tunjukan hingga \(P(n)\) benar untuk \(n=1\).
  2. Anggap \(P(n)\) benar untuk \(n=k\). 
  3. Tunjukkan bahwa \(P(n)\) benar untuk \(n=k+1\). Untuk membuktikan \(P(n)\) benar untuk \(n=k+1\) kita otak atik \(n=k\) atau hipotesis yang dianggap benar.
Jika tiga metode di atas terpenuhi maka rumus benar untuk setiap \(n\) yang dimaksud.

Sifat-Sifat Induksi Matematika Pertidaksamaan 


Sifat-sifat yang biasanya digunakan dalam menyelesaikan soal induksi matematika pertidaksamaan adalah sebagai berikut :

  1. \(a>b>c \Rightarrow a>c\) atau \(a<b<c \Rightarrow a<c\)
  2. \(a<b\) dan \(c>0 \Rightarrow ac<bc\) atau \(a>b\) dan \(c>0 \Rightarrow ac>bc\)
  3. \(a<b \Rightarrow a+c<b+c\) atau \(a>b \Rightarrow a+c>b+c\)


Contoh Soal Induksi Matematika Pertidaksamaan dan Pembahasannya


Ada 10 contoh soal induksi matematika pertidaksamaan essay dan pembahasannya. Silahkan pelajari sampai selesai....

Soal Nomor 1


Buktikan bahwa \(n^{2}\geq2n+7\) untuk setiap bilangan asli \(n\geq4\)

Pembahasan

\(n=4\)

\(n^{2}\geq 2n+7\)
\(4^{2}\geq 2(4)+7\)
\(16\geq 8+7\)
\(16\geq 15\) \(\Rightarrow\) Pernyataan ini Benar

\(n=k+1\)

\(n^{2}\geq2n+7\)
\((k+1)^{2}\geq 2(k+1)+7\) 
\((k+1)^{2}\geq 2k+2+7\)
\((k+1)^{2}\geq 2k+9\) \(\Rightarrow\) Untuk membuktikan pernyataan ini benar atau tidak maka kita mesti otak atik \(n=k\) yang dianggap benar.

\(n=k\)

\(n^{2}\geq2n+7\)
\(k^{2}\geq2k+7\) \(\Rightarrow\) kita tambah \((2k+1) \) pada kedua ruas untuk memperoleh \((k+1)^{2}\)
\(k^{2}+2k+1\geq2k+7+2k+1\)
\((k+1)^{2}\geq 4k +8\)

Sebelum dilanjut kita bandingkan \(4k+8\) dengan \(2k+9\) untuk mengetahui mana yang lebih besar nilainya diantara mereka.

Diketahui \(n=k\) dan pada soal nilai \(n\geq 4\) jadi jika kita ambil nilai \(n\) atau \(k\) paling kecil yaitu \(4\). Setelah itu disubstitusikan ke \(4k+8\) dan \(2k+9\) maka diperoleh. 

Subtitusikan \(k=4\) ke \(4k+8\)

\(4k+8=\)
\(4(4)+8=\)
\(16+8=24\)

Subtitusikan \(k=4\) ke \(2k+9\)

\(2k+9=\)
\(2(4)+9=\)
\(8+9=17\)

Jadi \(4k+8 \geq 2k+9\)
 
Jika \((k+1)^{2}\geq 4k+8\) jadi pernyataan \((k+1)^{2}\geq 2k+9\) benar karena \(4k+8 \geq 2k+9\). 

Sesuai sifat induksi pertidaksamaan 

\(a>b>c \Rightarrow a>c\)
\((k+1)^{2} \geq 4k+8 \geq 2k+9 \\ \Rightarrow (k+1)^{2} \geq 2k+9\)

Soal Nomor 2


Buktikan \(n<2^{n}\) untuk semua bilangan asli \(n\)

Pembahasan

\(n=1\)

\(n<2^{n}\)
\(1<2^{1}\)
\(1<2\) \(\Rightarrow\) Pernyataan ini Benar

\(n=k+1\)

\(n<2^{n}\)
\(k+1<2^{k+1}\) 

\(n=k\)

\(n<2^{n}\)
\(k<2^{k}\) \(\Rightarrow\) \(+1\) pada kedua ruas kiri dan kanan
\(k+1<2^{k}+1\)

Ingat \(n=k\) dan \(n\) adalah bilangan asli \((>0)\). Jadi nilai \(2^{k}+1\) pasti selalu lebih kecil dibandingkan \(2^{k+1}\) karena dua kali nilai \(2k\) pasti lebih besar dibandingkan \(2k\) yang ditambah \(1\)

Dari hipotesis di atas diperoleh \(k+1<2^{k}+1<2^{k+1}\) 
Jadi pernyataan \(k+1<2^{k+1}\) Benar.

Soal Nomor 3


Buktikan \(4n<2^{n}\) untuk semua bilangan bulat positif \(n\geq5\)

Pembahasan

\(n=5\)

\(4n<2^{n}\)
\(4(5)<2^{5}\)
\(20<32\) \(\Rightarrow\) Pernyataan ini Benar 

\(n=k+1\)

\(4n<2^{n}\)
\(4(k+1)<2^{k+1}\) 

\(n=k\)

\(4n<2^{n}\)
\(4k<2^{k}\) \(\Rightarrow\) Agar ruas kiri bentuknya menjadi \(4(k+1)\) maka perlu ditambah \(4\)
\(4k+4<2^{k}+4\)
\(4(k+1)<2^{k}+4\)

Karena \(n=k\) dan untuk nilai \(n\) paling kecil adalah \(5\) tentu \(2^{k+1}\) selalu lebih besar dibandingkan \(2^{k}+4\). 

Dari hipotesis di atas diperoleh :
 
\(4(k+1)<2^{k}+4<2^{k+1}\) 
👇
\(4(k+1)<2^{k+1}\) Pernyataan ini Benar

Soal Nomor 4


Buktikan \(3^{n}\geq2n+1\) untuk setiap \(n\) bilangan asli

Pembahasan

\(n=1\)

\(3^{n}\geq2n+1\)
\(3^{1}\geq2(1)+1\)
\(3\geq2+1\)
\(3\geq3\)

\(n=k+1\)

\(3^{n}\geq2n+1\)
\(3^{k+1}\geq2(k+1)+1\)

\(n=k\)

\(3^{n}\geq2n+1\)
\(3^{k}\geq2k+1\)
\(3^{k}\geq2k+1\) \(\Rightarrow \times 3\) untuk mengubah ruas kiri menjadi \(3^{k+1}\)
\(3^{k}\times3\geq 3(2k+1)\)
\(3^{k+1}\geq 6k+3\)
\(3^{k+1}\geq2(k+1)+1+4k\)

\(2(k+1)+1+4k\) pasti lebih besar dibandingkan \(2(k+1)+1\) karena \(n=k\) dan \(n\) bilangan asli \((>0)\). 

Dari hipotesis di atas diperoleh \(3^{k+1}\geq2(k+1)+1+4k\geq2(k+1)+1\) 

Jadi pernyataan \(3^{k+1}\geq2(k+1)+1\) ini Benar

Soal Nomor 5


Buktikan \(n^{2}+3\leq2^{n}\) untuk semua bilangan asli \(n\geq5\)

Pembahasan

\(n=5\)

\(n^{2}+3\leq2^{n}\)
\(5^{2}+3\leq2^{5}\)
\(25+3\leq32\)
\(28\leq32\) \(\Rightarrow\) Pernyataan ini Benar

\(n=k+1\)

\(n^{2}+3\leq2^{n}\)
\((k+1)^{2}+3\leq2^{k+1}\)

\(n=k\)

\(n^{2}+3\leq2^{n}\)
\(k^{2}+3\leq2^{k}\) \(\Rightarrow\) \(+(2k+1)\)
\(k^{2}+3+2k+1\leq 2^{k}+2k+1\)
\((k+1)^{2}+3\leq 2^{k}+2k+1\)

Untuk lebih mudah membandingkan kita cari nilai \(2k\)

\(n=k\)
\(k\geq5\) \(\times 2\)
\(2k\geq10\) Jika kita ambil nilai yang paling kecil diperoleh \(2k=10\)

\((k+1)^{2}+3\leq 2^{k}+2k+1\)
\((k+1)^{2}+3\leq 2^{k}+10+1\)
\((k+1)^{2}+3\leq 2^{k}+11\)

Jika \((k+1)^{2}+3\leq 2^{k}+11\) maka pernyataan \((k+1)^{2}+3\leq2^{k+1}\) ini Benar. Karena nilai \(n\) paling kecil \(5\) dan \(n=k\) maka \(2^{k}+11\) \(<\) \(2^{k+1}\).

Soal Nomor 6 


Buktikan \((n+1)^{2}<2n^{2}\), untuk semua bilangan asli \(n\geq3\)

Pembahasan 

\(n=3\)

\((n+1)^{2}<2n^{2}\)
\((3+1)^{2}<2\times3^{2}\)
\(4^{2}<2\times9\)
\(16<18\) \(\Rightarrow\) Pernyataan ini Benar.

\(n=k+1\)

\((n+1)^{2}<2n^{2}\)
\((k+1+1)^{2}<2(k+1)^{2}\)
\((k+2)^{2}<2(k+1)^{2}\)

\(n=k\)

\((n+1)^{2}<2n^{2}\)
\((k+1)^{2}<2k^{2}\)
\(k^{2}+2k+1<2k^{2}\) \(\Rightarrow\) Agar ruas kiri berubah menjadi \((k+2)^{2}\) maka perlu ditambah \(2k+3\)
\(k^{2}+2k+1+2k+3<2k^{2}+2k+3\)
\(k^{2}+4k+4<2k^{2}+2k+3\)
\((k+2)^{2}< (k+1)^{2}+k^{2}+2\)

Seperti biasa bandingkan \((k+1)^{2}+k^{2}+2\) dengan \(2(k+1)^{2}\). Ingat \(n=k\) dan nilai \(n\) paling kecil yaitu \(3\). Pasti \((k+1)^{2}+k^{2}+2\) \(<\) \(2(k+1)^{2}\). 

Jadi jika dibuat sesuai sifat induksi matematik hasil seperti di bawah ini:

\((k+2)^{2}<(k+1)^{2}+k^{2}+2<2(k+1)^{2}\) 
👇👇👇👇👇
 \((k+2)^{2}<2(k+1)^{2}\) \(\Rightarrow\) Maka pernyataan ini Benar.

Soal Nomor 7


\(n^{2}\geq n+3\) untuk setiap bilangan asli \(n\geq3\)

Pembahasan

\(n=3\)

\(n^{2}\geq n+3\)
\(3^{2}\geq 3+3\)
\(9 \geq 6\) \(\Rightarrow\) Pernyataan ini Benar.

\(n=k+1\)

\(n^{2}\geq n+3\)
\((k+1)^{2} \geq k+1+3\)
\((k+1)^{2} \geq k+4\)

\(n=k\)

\(n^{2}\geq n+3\)
\(k^{2}\geq k+3\) \(\Rightarrow\) Agar ruas kiri menjadi \((k+1)^{2}\)  maka perlu ditambah \(2k+1\)
\(k^{2}+2k+1\geq k+3+2k+1\)
\((k+1)^{2} \geq k+4+2k\)

Jika \((k+1)^{2}\) lebih besar dari \(k+4+2k\) tentu pernyataan \((k+1)^{2} \geq k+4\) benar karena  \(k+4+2k\) lebih besar dari \(k+4\) atau bisa juga cari nilai \(2k\) nya seperti di bawah ini :

\(n=k\) dan \(n \geq 3\)

\(n \geq 3\)
\(k \geq 3\)
\(2k \geq 6\)

Jika diambil nilai paling kecil diperoleh \(2k=6\). Maka \(k+4+2k\) adalah \(k+10\). 

Jika dibuat sifat induksi matematika dari hipotesis ini maka diperoleh :

\((k+1)^{2} \geq k+10 \geq k+4\)
\((k+1)^{2} \geq k+4\) 👉 Benar

Soal Nomor 8


Diberikan \(a>1\) buktikan \(a^{n}>1\), \(n\) bilangan asli

Pembahasan

\(a>1\)  kita ambil yang paling kecil \(2\) dan \(n\) bilangan asli \(>0\).

\(n=1\)

\(a^{n}>1\)
\(2^{1}>1\)
\(2>1\) 👉 Benar

\(n=k+1\)

\(a^{n}>1\)
\(2^{k+1}>1\)

\(n=k\)

\(a^{n}>1\)
\(2^{k}>1\) \(\Rightarrow\) agar ruas kiri menjadi \(2^{k+1}\) maka \(\times 2 \)
\(2^{k}\times 2 > 1 \times 2\)
\(2^{k+1} > 2\)

Dari hipotesis di atas jika dibuat ke dalam sifat induksi matematika diperoleh :

\(2^{k+1} > 2>1\)
👇👇👇👇👇👇
\(2^{k+1} >1\) 👉 Benar 

Soal Nomor 9


\(4n\leq2^{n}\) untuk setiap bilangan asli \(n\geq5\)

Pembahasan

\(n=5\)

\(4n\leq2^{n}\)
\(4.5\leq 2^{5}\)
\(20 \leq 32\) 👉 Benar

\(n=k+1\)

\(4n\leq2^{n}\)
\(4(k+1)\leq2^{k+1}\)

\(n=k\)

\(4n\leq2^{n}\)
\(4k\leq2^{k}\) \(\Rightarrow + 4 \) 
\(4k+4\leq2^{k}+4\)
\(4(k+1)\leq2^{k}+4\)

dua kali nilai \(2k\) pasti lebih besar ketimbang \(2k\) yang ditambah \(4\) mengingat \(n=k\) dan \(n \geq 5\)

\(4(k+1)\leq2^{k+1}\) 👉 Benar

Soal Nomor 10


Buktikan \(6n\leq3^{n}\), untuk \(n\geq3\)

Pembahasan

\(n=3\)

\(6n\leq3^{n}\)
\(6(3)\leq3^{3}\)
\(18 \leq 27\) 👉 Benar

\(n=k+1\)

\(6n\leq3^{n}\)
\(6(k+1)\leq3^{k+1}\)

\(n=k\)

\(6n\leq3^{n}\)
\(6k\leq3^{k}\) \(\Rightarrow +6\)
\(6k+6 \leq 3^{k}+6\)
\(6(k+1) \leq 3^{k}+6\)

Tiga kali nilai \(3^{k}\) pasti lebih besar dibandingkan \(3^{k}\) ditambah \(6\). Mengingat \(n=k\) dan \(n \geq 3\)

Jadi pernyataan \(6(k+1)\leq3^{k+1}\) 👉Benar


Penutup 


Semoga ilmu yang dibagikan bermanfaat, jika ada yang kurang mengerti atau kesalahan penulisan silahkan ditanyakan melalui kontak wa dan sosmed yang ada pada blog ini karena ilmu yang saya bagikan akan dipertanggungjawabkan kebenarannya. Terimakasih