alvininfo.com -  Pada kali ini saya akan membahas mengenai fungsi invers pecahan tetapi sebelum lanjut ke materi dan soal. Saya akan terlebih dahulu menjelaskan mengenai konsep fungsi invers. 


Konsep Fungsi Invers


Apasih bedanya fungsi invers dengan fungsi biasa ?...

Mungkin untuk menjawab pertanyaan tersebut saya akan menggunakan analogi agar lebih mudah dipahami oleh para visitor setia blog alvininfo.com heheπŸ˜˜πŸ˜πŸ˜‚.

Misalnya kalian pergi jalan-jalan dari padang ke medan, nah inilah yang dinamakan fungsi biasa. Sedangkan perjalanan pulang dari medan ke padang dinamakan fungsi invers. Jadi intinya adalah, fungsi invers merupakan kebalikan dari fungsi biasa.

\[f(a)=b\\f^{-1}(b)=a\]

Biar makin paham penggunaan fungsi invers mungkin rumus diatas akan kita praktekan untuk menjawab soal di bawah ini :

Contoh : 

Misal \(f(x)=6x-2\) yang ditanya adalah \(f^{-1}(34)\)....

Pembahasan

Ingat!

\(f(x)=y\) maka \(f^{-1}(y)=x\)

Cara Biasa 

\(f^{-1}(y)=x\)
\(6y-2=x\)
\(6y=x+2\)
\(y=\frac{x+2}{6}\)

Substitusikan \(34\) ke \(f^{-1}(x)=\frac{x+2}{6}\)

\(f^{-1}(x)=\frac{x+2}{6}\)
\(f^{-1}(34)=\frac{34+2}{6}\)
\(f^{-1}(34)=\frac{36}{6}\)
\(f^{-1}(34)=6\)

Cara  Praktis

Untuk lebih mudah kalian bisa pakai logika dalam menjawabnya. Jika hasil dari fungsinya \(34\) maka nilai \(x\) yang memenuhinya berapa ya kira-kira?

\(34=6x-2\)
\(36=6x\)
\(x=6\)

Jadi  \(f^{-1}(34)=6\)

Konsep Invers Fungsi Bentuk Pecahan (Rasional)


Bentuk umum fungsi pecahan :
\[y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}; x \neq -\frac{d}{c}\]

Jika bentuk umum fungsi pecahan dicari inversnya, maka hasilnya seperti di bawah ini :

\(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\)

\(y=\frac{ax+b}{cx+d}\)

\(y(cx+d)= ax+b\)

\(cxy+dy= ax+b\)

\(dy-b=ax-cxy\)

\(dy-b=x(a-cy)\)

\(x=\frac{dy-b}{-cy+a}\)

Selanjutnya tinggal ganti \(x\) dengan \(f^{-1}(x)\) dan \(y\) dengan \(x\).

Jadi didapatkan invers dari \(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\) adalah \(f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}\)

Rumus \(f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}=\frac{-dx+b}{cx-a}\)  keduanya sama aja kalau ga percaya coba subtitusikan saja nilai yang sama pada rumus tersebut pasti hasilnya sama. Rumus ini hanya berlaku untuk menjawab pecahan fungsi linier saja atau hanya pecahan yang sejenis ini saja. Tidak bisa dipakai untuk semua jenis pecahan seperti fungsi pecahan kuadrat. 

Soal Fungsi Invers Pecahan Biasa dan Kuadrat Lengkap dengan Pembahasannya 


Ada 20 soal fungsi invers pecahan lengkap dengan pembahasannya, silahkan pelajari sampai selesai.

Soal Nomor 1


Diketahui \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}, x \neq \frac{-1}{2}\). Invers dari \(f(x)\) adalah

Pembahasan

\(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)

\(y=\frac{x-3}{2x+1}\)

\(y(2x+1)=x-3\)

\(2xy+y=x-3\)

\(3+y=x-2xy\)

\(x=\frac{3+y}{1-2y}\)

\(f^{-1}(x) = \frac{3+x}{1-2x}\)

Atau kalian bisa langsung menggunakan rumus cepat fungsi invers untuk fungsi pecahan linier. Gunakan Rumus ini \(f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}\).

\(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)

Diperoleh :
\(a=1\\b=-3\\c=2\\d=1\)

\(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{-2x+1}\)


Soal Nomor 2


Diketahui \(f(x)=\frac{x-4}{2x+3}\).  Invers fungsi dari \(f(x)\) adalah

Pembahasan

Cara Biasa 

\(f(x)=\frac{x-4}{2x+3}\)

\(y=\frac{x-4}{2x+3}\)

\(y(2x+3)=x-4\)

\(2xy+3y=x-4\)

\(4+3y=x-2xy\)

\(4+3y=x(1-2y)\)

\(x=\frac{4+3y}{1-2y}\)

\(f^{-1}(x)=\frac{4+3x}{1-2x}\)

Cara Praktis

Gunakan rumus \(f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}\)

\(f(x)=\frac{x-4}{2x+3}\)

\(f^{-1}(x)=\frac{3x+4}{-2x+1}\)


Soal Nomor 3


Diketahui \(f(x)=\frac{2-x}{x}\).  Invers fungsi dari \(f(x)\) adalah

Pembahasan

\(f(x)=\frac{2-x}{x}\)

\(y=\frac{2-x}{x}\)

\(yx=2-x\)

\(yx+x=2\)

\(x(y+1)=2\)

\(x=\frac{2}{y+1}\)

\(f^{-1}(x)=\frac{2}{x+1}\)


Soal Nomor 4


Diketahui \(f(x)=\frac{2x^{2}+5}{3-x^{2}}\).  Invers fungsi dari \(f(x)\) adalah

Pembahasan 

\(f(x)=\frac{2x^{2}+5}{3-x^{2}}\)

\(y=\frac{2x^{2}+5}{3-x^{2}}\)

\(y(3-x^{2})=2x^{2}+5\)

\(3y-x^{2}y=2x^{2}+5\)

\(3y-5=2x^{2}+x^{2}y\)

\(3y-5=x^{2}(2+y)\)

\(x^{2}=\frac{3y-5}{2+y}\)

\(x=\pm\sqrt{\frac{3y-5}{2+y}}\)

\(f^{-1}(x)=\pm\sqrt{\frac{3x-5}{2+x}}\)


Soal Nomor 5


Diketahui \(f(x)=\frac{3-2x}{3x-2}\).  Invers fungsi dari \(f(x)\) adalah

Pembahasan

Cara Biasa :

\(f(x)=\frac{3-2x}{3x-2}\)

\(y=\frac{3-2x}{3x-2}\)

\(y(3x-2)=3-2x\)

\(3xy-2y=3-2x\)

\(-2y-3=-2x-3xy\)

\(-2y-3=x(-2-3y)\)

\(x=\frac{-2y-3}{-2-3y}\)

\(f^{-1}(x)=\frac{-2x-3}{-2-3x}\)

Cara Praktis

Gunakan rumus \(f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}\)

\(f(x)=\frac{3-2x}{3x-2}\)

\(f^{-1}(x)=\frac{-3-2x}{-3x-2}\)


Soal Nomor 6


Diketahui \(f(x)=\frac{4-3x}{2x}\).  Invers fungsi dari \(f(x)\) adalah

Pembahasan

\(f(x)=\frac{4-3x}{2x}\)

\(y=\frac{4-3x}{2x}\)

\(2xy=4-3x\)

\(2xy+3x=4\)

\(x(2y+3)=4\)

\(x=\frac{4}{2y+3}\)

\(f^{-1}(x)=\frac{4}{2x+3}\)


Soal Nomor 7


Diketahui \(f(x)=\frac{x^{2}-3}{2-x^{2}}\).  Invers fungsi dari \(f(x)\) adalah

Pembahasan

\(f(x)=\frac{x^{2}-3}{2-x^{2}}\)

\(y=\frac{x^{2}-3}{2-x^{2}}\)

\(y(2-x^{2})=x^{2}-3\)

\(2y-x^{2}y=x^{2}-3\)

\(2y+3=x^{2}+x^{2}y\)

\(2y+3=x^{2}(1+y)\)

\(x^{2}=\frac{2y+3}{1+y}\)

\(x=\pm\sqrt{\frac{2y+3}{1+y}}\)

\(f^{-1}(x)=\pm\sqrt{\frac{2x+3}{1+x}}\)


Soal Nomor 8


Diketahui \(g(x)=\frac{x+3}{x-1}, x \neq 1\).  Invers fungsi dari \(g(x)\) adalah

Pembahasan

Cara Biasa :

\(g(x)=\frac{x+3}{x-1}\)

\(y=\frac{x+3}{x-1}\)

\(y(x-1)=x+3\)

\(xy-y=x+3\)

\(xy-x=y+3\)

\(x(y-1)=y+3\)

\(x=\frac {y+3} {y-1}\)

\(g^{-1}(x)=\frac {x+3} {x-1}\)

Cara Praktis :

Gunakan rumus \(f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}\)

\(g(x)=\frac{x+3}{x-1}\)

\(g^{-1}(x)=\frac{-x-3}{-x+1}\)

Dapat dilihat oleh kalian hasil dari cara biasa dan cara praktis bentuknya berbeda tetapi kalau disubtitusikan angka \(x \neq 1 \) hasilnya pasti sama aja kok. Coba aja sendiri.


Soal Nomor 9


Diketahui \(f(x)=\frac{5x-2}{4x+3}\).  Invers fungsi dari \(f(x)\) adalah

Pembahasan 

Cara Biasa : 

\(f(x)=\frac{5x-2}{4x+3}\)

\(y=\frac{5x-2}{4x+3}\)

\(y(4x+3)=5x-2\)

\(4xy+3y=5x-2\)

\(4xy-5x=-2-3y\)

\(x(4y-5)=-2-3y\)

\(x=\frac{-2-3y}{4y-5}\)

\(f^{-1}(x)=\frac{-2-3x}{4x-5}\)

Cara Praktis :

Gunakan rumus \(f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}\)

\(f(x)=\frac{5x-2}{4x+3}\)

\(f^{-1}(x)=\frac{3x+2}{-4x+5}\)


Soal Nomor 10


Jika \(f^{-1}(x)\) adalah invers dari fungsi \(f(x)=\frac{2x-4}{x-3}\) maka nilai \(f^{-1}(4)\) adalah

Pembahasan

Langkah 1 : 

Mencari invers dari fungsi \(f(x)=\frac{2x-4}{x-3}\)

\(f(x)=\frac{2x-4}{x-3}\)

\(y=\frac{2x-4}{x-3}\)

\(y(x-3)=2x-4\)

\(yx-3y=2x-4\)

\(yx-2x=-4+3y\)

\(x(y-2)=-4+3y\)

\(x=\frac{-4+3y}{y-2}\)

\(f^{-1}(x)=\frac{-4+3x}{x-2}\)

Langkah 2 : 

Substitusikan \(4\) ke \(f^{-1}(x)=\frac{-4+3x}{x-2}\)

\(f^{-1}(x)=\frac{-4+3x}{x-2}\)

\(f^{-1}(4)=\frac{-4+3(4)}{4-2}\)

\(f^{-1}(4)=\frac{-4+12}{4-2}\)

\(f^{-1}(4)=\frac{8}{2}=4\)

Jadi \(f^{-1}(4)=4\)


Soal Nomor 11


Diketahui \(f(x)=\frac{1-5x}{x+2}, x \neq -2\) dan \(f^{-1}(x)\) adalah invers dari \(f(x)\). Nilai dari \(f^{-1}(3)\) = ....

Pembahasan

Langkah 1 : 

Mencari invers dari fungsi \(f(x)=\frac{1-5x}{x+2}\)

\(f(x)=\frac{1-5x}{x+2}\)

\(y=\frac{1-5x}{x+2}\)

\(y(x+2)=-5x+1\)

\(yx+2y=-5x+1\)

\(yx+5x=1-2y\)

\(x(y+5)=1-2y\)

\(x=\frac{1-2y}{y+5}\)

\(f^{-1}(x)=\frac {1-2x}{x+5}\)

Langkah 2 : 

Substitusikan \(-3\) ke \(f^{-1}(x)=\frac{1-2x}{x+5}\)

\(f^{-1}(x)=\frac {1-2x}{x+5}\)

\(f^{-1}(-3)=\frac {1-2(-3)}{-3+5}\)

\(f^{-1}(-3)=\frac{1+6}{2}\)

\(f^{-1}(-3)=\frac{7}{2}\)

Jadi \(f^{-1}(-3)=\frac{7}{2}\)


Soal Nomor 12


Diketahui \(f(x)=\frac{3x-5}{\frac{1}{4}x+2}\) tentukan nilai dari \(f^{-1}(-2)=...\)

Pembahasan

Langkah 1 : 

Mencari invers dari fungsi \(f(x)=\frac{3x-5}{\frac{1}{4}x+2}\)

\(f(x)=\frac{3x-5}{\frac{1}{4}x+2}\)

\(y = \frac{3x-5}{\frac{1}{4}x+2}\)

\(y(\frac{1}{4}x+2)=3x-5\)

\(\frac{xy}{4}+2y=3x-5\)

\(\frac{xy}{4}-3x=-2y-5\)

\(x(\frac{y}{4}-3)=-2y-5\)

\(x=\frac{-2x-5}{\frac{y}{4}-3}\)

\(f^{-1}(x)=\frac{-2x-5}{\frac{x}{4}-3}\)

Langkah 2 : 

Substitusikan \(-2\) ke \(f^{-1}(x)=\frac{-2x-5}{\frac{x}{4}-3}\)

\(f^{-1}(x)= \frac{-2x-5}{\frac{x}{4}-3}\)

\(f^{-1}(-2)= \frac{-2(-2)-5}{\frac{-2}{4}-3}\)

\(f^{-1}(-2)= \frac{4-5}{\frac{-1}{2}-3}\)

\(f^{-1}(-2)=\frac{-1}{\frac{-1-6}{2}}\)

\(f^{-1}(-2)=\frac{-1}{\frac{-7}{2}}\)

\(f^{-1}(-2)=\frac{2}{7}\)

Jadi \(f^{-1}(-2)=\frac{2}{7}\)


Soal Nomor 13


Diketahui \(f^{-1}(\frac{x+5}{x-5}) = \frac {8}{x+5}\) dan \(f(a)=-4\), nilai \(a\) adalah

Pembahasan

Ingat \(f(a)=b\) dan\(f^{-1}(b)=a\) !

Karena yang diketahui pada soal \(f(a)=-4\) dan yang ditanya nilai \(a\) jadi \(f^{-1}(\frac{x+5}{x-5}) = \frac {8}{x+5}\)  kita kembalikan ke fungsi asalnya.

Langkah 1 :

\(f^{-1}(\frac{x+5}{x-5}) = \frac {8}{x+5}\)

\(f(\frac {8}{x+5}) = \frac{x+5}{x-5} \)

Setelah dikembalikan ke fungsi asal selanjutnya cari invers dari \(\frac {8}{x+5}\)

\(y=\frac {8}{x+5}\)

\(y(x+5)=8\)

\(yx+5y=8\)

\(yx=8-5y\)

\(x=\frac{8-5y}{y}\)

\(f^{-1}(x)=\frac{8-5x}{x}\)

Langkah 2 :

\(f(\frac {8}{x+5}) = \frac{x+5}{x-5}\Rightarrow \) Ganti dengan inversnya

\(f(\frac{8-5x}{x}) = \frac{x+5}{x-5} \)

Komposisikan bagian kanan dengan inversnya, maka diperoleh hasil seperti di bawah :

\(f(x) = \frac{\frac{8-5x}{x}+5}{\frac{8-5x}{x}-5} \)

\(f(x) = \frac{\frac{8-5x+5x}{x}}{\frac{8-5x-5x}{x}} \)

\(f(x) = \frac{\frac{8-5x+5x}{x}}{\frac{8-5x-5x}{x}} \)

\(f(x) = \frac{8-5x+5x}{8-5x-5x} \)

\(f(x) = \frac{8}{8-10x} \)

Langkah 3 :

Substitusikan \(f(a)=-4\) ke \(f(x) = \frac{8}{8-10x} \)

\(f(x) = \frac{8}{8-10x} \)

\(-4 = \frac{8}{8-10a} \)

\(-4(8-10a) = 8\)

\(-32+40a = 8 \)

\(40a = 8 + 32 \)

\(40a = 40 \)

\(a=1\)

Jadi diperoleh nilai \(a=1\).


Soal Nomor 14


Diketahui \(f(\frac{1}{x})=\frac{x}{2+3x}\) dan \(f^{-1}(a)=-1\), maka nilai \(a\) adalah

Pembahasan

Karena yang ditanya nilai \(a\) dan diketahui \(f^{-1}(a)=-1\), maka untuk mencari nilai \(a\) fungsi \(f(\frac{1}{x})=\frac{x}{2+3x}\) mesti diinverskan dulu.

Langkah 1 :

\(f(\frac{1}{x})=\frac{x}{2+3x}\)

\(f^{-1}(\frac{x}{2+3x})=\frac{1}{x}\)

Selanjutnya cari invers dari \(\frac{x}{2+3x}\)

\(y=\frac{x}{2+3x}\)

\(y(2+3x)= x\)

\(2y+3xy= x\)

\(3xy-x= -2y\)

\(x(3y-1)= -2y\)

\(x = \frac {-2y}{3y-1}\)

Langkah 2 : 

\(f^{-1}(\frac{x}{2+3x})=\frac{1}{x} \Rightarrow \) Ganti dengan inversnya, hasilnya seperti di bawah :

\(f^{-1}(\frac {-2x}{3x-1})=\frac{1}{x}\)

Komposisikan bagian kanan dengan inversnya 

\(f^{-1}(x)=\frac{1}{\frac {-2x}{3x-1}}\)

\(f^{-1}(x)=\frac{1}{\frac {-2x}{3x-1}}\)

\(f^{-1}(x) = \frac {3x-1}{ -2x }\)

Langkah 3 :

\(f^{-1}(x) = \frac {3x-1}{ -2x }\)

\(f^{-1}(a) = \frac {3a-1}{ -2a }\)

\(-1 = \frac {3a-1}{ -2a }\)

\(-1 \times  -2a = 3a-1\)

\(2a = 3a-1\)

\(2a -3a = -1\)

\(-a = -1\)

\(a = 1\)

Jadi diperoleh nilai \(a\) adalah \(1\)


Soal Nomor 15


Jika \(f(x-1)=\frac{x-1}{2-x}\) dan \(f^{-1}\) adalah invers dari fungsi \(f\) maka \(f^{-1}(x+1)=..\)

Pembahasan

Langkah 1 :

Mencari invers dari \(f(x-1)=\frac{x-1}{2-x}\) karena yang ditanya pada soal \(f^{-1}(x+1)=..\)

\(f(x-1)=\frac{x-1}{2-x}\)

\(f^{-1}(\frac{x-1}{2-x})=x-1\)

Cari invers dari \(\frac{x-1}{2-x}\), karena bentuk pecahannya fungsi linier maka kita gunakan rumus cepat saja. 

\(f^{-1}(\frac{2x+1}{1+x})=x-1\) 

Langkah 2 :

Komposisikan bagian kanan dengan inversnya 

\(f^{-1}(\frac{2x+1}{1+x})=x-1\)

\(f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{1+x}-1\)

Langkah 3 :

Substitusikan \(f^{-1}(x+1)\) ke \(f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{1+x}-1\)

\(f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{1+x}-1\)

\(f^{-1}(x+1)=\frac{2(x+1)+1}{1+x+1}-1\)

\(f^{-1}(x+1)=\frac{2x+2+1}{1+x+1}-1\)

\(f^{-1}(x+1)=\frac{2x+3}{x+2}-1\)

\(f^{-1}(x+1)=\frac{2x+3-x-2}{x+2}\)

\(f^{-1}(x+1)=\frac{x+1}{x+2}\)


Soal Nomor 16


Jika \(f^{-1} (2x-5) = \frac {2-3x}{x-2}\) maka nilai \(f(-1)=\)

Pembahasan 

\(f^{-1} (2x-5) = \frac {2-3x}{x-2}\)

\(f (\frac {2-3x}{x-2}) = 2x-5\)

Cari invers dari \(\frac {2-3x}{x-2}\) menggunakan rumus cepat fungsi invers pecahan linier. Selanjutnya komposisikan invers dengan bagian kanan, hasilnya seperti di bawah ini :

\(f (x) = 2(\frac {-2x-2}{-x-3})-5\)

\(f (x) = \frac {-4x-4}{-x-3}-5\)

\(f (-1) = \frac {-4(-1)-4}{-(-1)-3}-5\)

\(f (-1) = \frac {4-4}{1-3}-5\)

\(f (-1) = \frac {0}{-2}-5\)

\(f (-1) = -5\)


Soal Nomor 17 


Jika \(f^{-1} (x-1) = \frac {4-3x}{x-2}\) maka nilai \(f(-5)=\)

Pembahasan

\(f^{-1} (x-1) = \frac {4-3x}{x-2}\)

\(f (\frac {4-3x}{x-2}) = x-1\)

\(f (\frac {-4-2x}{-x-3}) = x-1\)

\(f (x) = \frac {-4-2x}{-x-3}-1\)

\(f (-5) = \frac {-4-2(-5)}{-(-5)-3}-1\)

\(f (-5) = \frac {-4+10}{5-3}-1\)

\(f (-5) = \frac {6}{2}-1\)

\(f (-5) = 3-1\)

\(f (-5) = 2 \)


Soal Nomor 18


Jika \(f(2x-1) = \frac {3x+2}{5x-4}, x \neq \frac{4}{5} \) maka nilai \(f^{-1}(2)=\)

Pembahasan

\(f(2x-1) = \frac {3x+2}{5x-4}\)

\(f^{-1}(\frac {3x+2}{5x-4}) = 2x-1\)

\(f^{-1}(\frac {-4x-2}{-5x+3}) = 2x-1\)

\(f^{-1}(x) = 2(\frac {-4x-2}{-5x+3})-1\)

\(f^{-1}(x) = \frac {-8x-4}{-5x+3}-1\)

\(f^{-1}(2) = \frac {-8(2)-4}{-5(2)+3}-1\)

\(f^{-1}(2) = \frac {-16-4}{-10+3}-1\)

\(f^{-1}(2) = \frac {-20}{-7}-1\)

\(f^{-1}(2) = \frac {-20+7}{-7}\)

\(f^{-1}(2) = \frac {-13}{-7}\)

\(f^{-1}(2) = \frac {13}{7}\)


Soal Nomor 19


Diketahui \(f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-3}\). Tentukan \(f(x+1)=\)

Pembahasan

\(f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-3}\)

\(f(\frac{2x+1}{x-3})=x\)

\(f(\frac{-3x-1}{-x+2})=x\)

\(f(x)=\frac{-3x-1}{-x+2}\)

\(f(x+1)=\frac{-3(x+1)-1}{-(x+1)+2}\)

\(f(x+1)=\frac{-3x-3-1}{-x-1+2}\)

\(f(x+1)=\frac{-3x-4}{-x+1}\)


Soal Nomor 20


Diketahui \(f^{-1}(x)=\frac{7-2x}{3x+1}\). Tentukan \(f(4x-2)=\)

Pembahasan

\(f^{-1}(x)=\frac{7-2x}{3x+1}\)

\(f(\frac{7-2x}{3x+1})=x\)

\(f(\frac{-7+x}{-3x-2})=x\)

\(f(x)=\frac{-7+x}{-3x-2}\)

\(f(4x-2)=\frac{-7+4x-2}{-3(4x-2)-2}\)

\(f(4x-2)=\frac{-9+4x}{-12x+6-2}\)

\(f(4x-2)=\frac{-9+4x}{-12x+4}\)



Penutup


Pembahasan materi fungsi invers pecahan dan soalnya sudah selesai, jika bermanfaat bisa di share ke teman-temannya. Apabila ada yang mau request soal silahkan nanti akan saya buat bahasannya. Jika ada yang tidak mengerti silahkan ditanyakan karena ilmu yang dibagikan akan saya pertanggungjawabkan kebenarannya.  Terimakasih