Simpel Konsep Invers Fungsi Kuadrat - Kelas 11

alvininfo.com - Sebelum masuk ke materi dan contoh soal, saya akan menjelaskan dulu konsep dari fungsi invers agar kalian lebih mudah memahami cara pengerjaannya. Fungsi invers adalah fungsi yang berkebalikan dengan suatu fungsi daerah asalnya. Fungsi invers biasanya di simbolkan dengan \(f^{-1}\).

Simpel Konsep Fungsi Invers Kuadrat

Dari gambar di atas kalian tahu bahwa jika \(f(x)=y\) maka \(f^{-1}(y)=x\). 

Dari konsep fungsi invers jika \(f(x)=y\), maka \(f^{-1}(x)=y\) kita dapat mengetahui bahwa disaat fungsi asal berubah menjadi fungsi invers terjadi pertukaran tempat antara variabel \(x\) dan \(y\).




Syarat Fungsi dan Fungsi Kuadrat Mempunyai Invers


Invers fungsi kuadrat adalah invers dari fungsi yang pangkatnya dua. Fungsi akan memiliki invers jika dan hanya jika fungsi bijektif (satu-satu) \(x_1\neq x_2\) maka hasilnya \(f(x_1) \neq f(x_2)\). Semua fungsi kuadrat tidak memiliki invers. 

Fungsi kuadrat akan memiliki invers jika grafik sumbu \(y\) nya tidak berhadapan melalui sumbu simetrinya atau gampangnya hanya ada satu nilai \(x\) untuk satu nilai \(y\) (berkorespodensi satu-satu). Agar hanya ada satu nilai \(x\) untuk satu nilai \(y\) lihat domainnya, domain fungsi biasanya terletak diantara sumbu simetri fungsi kuadrat tersebut \((x=\frac{-b}{2a})\).

Mungkin untuk lebih jelas dalam memahami teori di atas akan saya terapkan dalam menjawab contoh soal invers fungsi kuadrat.

Cara Cepat Mencari Invers Fungsi Kuadrat


Ada dua cara untuk mencari invers dari fungsi kuadrat yaitu menggunakan kuadrat sempurna dan rumus kecap tetapi sebelum mencari inversnya kalian harus tau apakah fungsi kuadrat tersebut memenuhi syarat fungsi invers tidak? Jika tidak, maka fungsi tersebut tidak mempunyai invers. 

1. Menggunakan Kuadrat Sempurna


Dalam menjawab invers fungsi kuadrat menggunakan kuadrat sempurna, caranya yaitu tentukan terlebih dahulu kuadrat sempurnanya dengan melihat nilai \(b\) nya. Dengan begitu kita bisa menentukan inversnya. Lebih jelasnya perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh :

Carilah invers dari fungsi \(y=x^{2}-4x+7\) untuk \(x>0\) dan \(x>3\) !

Pembahasan

  • Untuk \(x>0\) 


Langkah 1 :

Kita gambar dulu grafik fungsi  \(y=x^{2}-4x+7\) untuk \(x>0\) apakah grafiknya berhadapan melalui sumbu simetrinya atau tidak ? Jika berhadapan maka fungsi \(y=x^{2}-4x+7\)  tidak memiliki invers. 

Langkah 2 :

Mencari titik belok dari fungsi \(y=x^{2}-4x+7\) menggunakan rumus sumbu simetri \(x=\frac{-b}{2a}\).

\(x=\frac{-b}{2a}\)
\(x=\frac{-(-4)}{2(1)}\)
\(x=\frac{4}{2}\)
\(x = 2\)

Substitusikan \( x=2\) ke fungsi \(y=x^{2}-4x+7\)

\(y=x^{2}-4x+7\)
\(y=2^{2}-4(2)+7\)
\(y=4-8+7\)
\(y=3\)

Jadi diperoleh titik beloknya yaitu \((2,3)\)

Langkah 3 :

Gambar grafik dari fungsi \(y=x^{2}-4x+7\) untuk \(x>0\)


Terlihat dengan jelas pada gambar di atas bahwa fungsi \(y=x^{2}-4x+7\) untuk \(x>0\) grafik pada sumbu \(y\) berhadapan melalui sumbu simetrinya. Jadi fungsi \(y=x^{2}-4x+7\) untuk \(x>0\) tidak memiliki invers.


  • Untuk \(x>3\)


Dari gambar grafik fungsi \(y=x^{2}-4x+7\) untuk \(x>3\) di atas memenuhi syarat invers fungsi kuadrat karena tidak ada yang berhadapan melalui titik beloknya atau sumbu simetrinya. Jadi kita bisa cari invers dari fungsi \(y=x^{2}-4x+7\) untuk \(x>3\) menggunakan kuadrat sempurna.

\(y=x^{2}-4x+7\)
\(y=x^{2}-4x+4+3\)
\(y=(x-2)^{2}+3\)
\(y-3=(x-2)^{2}\)
\((x-2)^{2}=y-3\)
\(x-2=\pm\sqrt{y-3}\)
\(x=2\pm\sqrt{y-3}\)
\(f^{-1}(x)=2\pm\sqrt{x-3}\)

Cara Biasa :


Syarat invers fungsikan harus korespodensi satu-satu, untuk hasil sementara ada dua pilihan positif atau negatif. Karena yang ditanya untuk \(x>3\) maka kita ambil \(4\) untuk di subtitusikan ke \(y=x^{2}-4x+7\) atau \(f(x)=x^{2}-4x+7\).

\(f(x)=x^{2}-4x+7\)
\(f(4)=4^{2}-4(4)+7\)
\(f(4)=16-16+7\)
\(f(4)=7\)
 
Ingat konsep awal  \(f(x)=y\) maka \(f^{-1}(y)=x\). Berarti \(f^{-1}(7)=4\) selanjutnya subtitusikan \(7\) ke invers dari fungsi \(f(x)=x^{2}-4x+7\) lalu cek apakah hasilnya \(4\). Tadi diperoleh hasil invers dari \(f(x)=x^{2}-4x+7\) adalah \(f^{-1}(x)=2\pm\sqrt{x-3}\).

\(f^{-1}(x)=2\pm\sqrt{x-3}\)
\(f^{-1}(7)=2\pm\sqrt{7-3}\)
\(f^{-1}(7)=2\pm\sqrt{4}\)
\(f^{-1}(7)=2\pm2\)

Agar diperoleh \(f^{-1}(7)=4\) maka yang dipilih adalah positif.  

Jadi invers dari fungsi \(f(x)=x^{2}-4x+7\)  untuk \(x>3\) adalah \(f^{-1}(x)=2+\sqrt{x-3}\)

2. Menggunakan Rumus abc atau Kecap


Kita gunakan rumus abc untuk menjawab soal invers dari fungsi \(y=x^{2}-4x+7\) untuk \(x>3\) !

Pembahasan

Invers dari fungsi persamaan kuadrat \(ax^{2}+bx+c=y\) adalah \[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac+4ax}}{2a}\]

Jadi untuk mempercepat proses pengerjaan kita langsung gunakan \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac+4ax}}{2a}\)


\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac+4ax}}{2a}\)

\(x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{-4^{2}-4(1)(7)+4(1)x}}{2(1)}\)

\(x=\frac{4\pm\sqrt{16-28+4x}}{2}\)

\(x=\frac{4\pm\sqrt{-12+4x}}{2}\)

\(x=\frac{4\pm\sqrt{4(-3+x)}}{2}\)

\(x=\frac{4\pm2\sqrt{-3+x}}{2}\)

\(x=2\pm\sqrt{-3+x}\)

Cara Praktis :


Karena yang diminta adalah untuk \(x>3\) pasti tidak mungkin \(f^{-1}(x)=2-\sqrt{-3+x}\) karena nilainya selalu kurang dari \(3\) untuk nilai \(x\) berapapun. Jadi inversnya adalah \(f^{-1}(x)=2+\sqrt{-3+x}\).




Contoh Soal Invers Fungsi Kuadrat dan Pembahasannya



Soal Nomor 1


Tentukan invers dari fungsi \(f(x)=x^{2}-6x+1\) untuk \(x \geq 3\)

Pembahasan


Karena pada gambar grafiknya tidak ada yang berhadapan melalui sumbu simetrinya jadi fungsi \(f(x)=x^{2}-6x+1\) untuk \(x \geq 3\) memiliki invers. Selanjutnya cari menggunakan invers dari rumus abc.

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac+4ax}}{2a}\)

\(x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{-6^{2}-4(1)(1)+4(1)(x)}}{2(1)}\)

\(x=\frac{6\pm\sqrt{36-4+4x}}{2}\)

\(x=\frac{6\pm\sqrt{32+4x}}{2}\)

\(x=\frac{6\pm\sqrt{4(8+x)}}{2}\)

\(x=\frac{6 \pm 2 \sqrt {8+x}}{2}\)

\(x = 3 \pm  \sqrt {8+x}\)

Karena yang diminta pada soal \(x \geq 3\) jadi invers dari fungsi tersebut adalah \( f^{-1}(x)= 3 + \sqrt {8+x}\)


Soal Nomor 2


Tentukan invers dari fungsi \(f(x)=x^{2}-5\) untuk \(x < 0\)

Pembahasan


Bisa dilihat pada gambar, jika ditarik garis horizontal pada grafiknya maka tidak ada yang sama. Jadi fungsi \(f(x)=x^{2}-5\) untuk \(x < 0\) memiliki invers. Selanjutnya tinggal cari invers dari fungsi tersebut menggunakan kuadrat sempurna.

\(y=x^{2}-5\)
\(y+5=x^{2}\)
\(x^{2}=y+5\)
\(x=\pm\sqrt{y+5}\)
\(f^{-1}(x)=\pm\sqrt{y+5}\)

Karena yang diminta \(x<0\) maka inversnya adalah \(f^{-1}(x)= -\sqrt{y+5}\)


Soal Nomor 3


Tentukan invers dari fungsi \(f(x)=x^{2}-4x+3\) untuk \(x \leq 1 \)

Pembahasan


Gambar dari grafik fungsi \(f(x)=x^{2}-4x+3\) untuk \(x < 1 \) tidak ada yang simetri terhadap sumbu \(y\). Jadi fungsi \(f(x)=x^{2}-4x+3\) untuk \(x \leq 1 \) memiliki invers, selanjut cari inversnya menggunakan rumus invers fungsi kuadrat.

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac+4ax}}{2a}\)

\(x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{-4^{2}-4(1)(3)+4(1)(x)}}{2(1)}\)

\(x=\frac{4\pm\sqrt{16-12+4x}}{2}\)

\(x=\frac{4\pm\sqrt{4+4x}}{2}\)

\(x=\frac{4\pm\sqrt{4(1+x)}}{2}\)

\(x=\frac{4\pm 2 \sqrt {1+x}}{2}\)

\(x = 2 \pm  \sqrt {1+x}\)

Karena untuk \(x \leq 1\) maka invers dari fungsi tersebut adalah \(x = 2 - \sqrt {1+x}\)


Soal Nomor 4


Tentukan invers dari fungsi \(f(x)=x^{2}-6x+10\) untuk \(x < 2 \)

Pembahasan





Dapat dilihat oleh kalian grafik dari fungsi \(f(x)=x^{2}-6x+10\) untuk \(x < 2 \) tidak ada yang berhadapan melalui sumbu simetrinya. Jadi fungsi \(f(x)=x^{2}-6x+10\) untuk \(x < 2 \) memiliki invers.

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac+4ax}}{2a}\)

\(x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{-6^{2}-4(1)(10)+4(1)(x)}}{2(1)}\)

\(x=\frac{6\pm\sqrt{36-40+4x}}{2}\)

\(x=\frac{6\pm\sqrt{-4+4x}}{2}\)

\(x=\frac{6\pm\sqrt{4(-1+x)}}{2}\)

\(x=\frac{6\pm 2 \sqrt {x-1}}{2}\)

\(x = 3 \pm  \sqrt {x-1}\)

Yang diminta pada soal adalah untuk \(x<2\) maka inversnya adalah \(f^{-1}(x) = 3 -  \sqrt {x-1}\)


Soal Nomor 5


Tentukan invers dari fungsi \(f(x)=x^{2}+6x-4\) untuk \(x > -3 \)

Pembahasan


Seperti biasa lihat dulu grafiknya, jika tidak ada yang berhadapan melalui sumbu simetrinya maka fungsi tersebut memiliki invers.

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac+4ax}}{2a}\)

\(x=\frac{-(6)\pm\sqrt{6^{2}-4(1)(-4)+4(1)(x)}}{2(1)}\)

\(x=\frac{-6\pm\sqrt{36+16+4x}}{2}\)

\(x=\frac{-6\pm\sqrt{52+4x}}{2}\)

\(x=\frac{-6\pm\sqrt{4(13+x)}}{2}\)

\(x=\frac{-6\pm 2 \sqrt {x+13}}{2}\)

\(x = -3 \pm  \sqrt {x+13}\)

Karena yang diminta \( x > -3\) pasti tidak mungkin\(f^{-1}(x) = -3 -  \sqrt {x+13}\) maka fungsi dari invers tersebut adalah \(f^{-1}(x) = -3 +  \sqrt {x+13}\). 


Penutup


Semoga ilmu yang saya bagikan melalui artikel ini bisa bermanfaat. Jika ada yang tidak mengerti atau kesalahan penulisan silahkan ditanyakan kepada saya melalui kontak yang ada pada blog ini. Semua artikel yang saya publikasikan insyaallah siap saya pertanggungjawabkan kebenarannya. Haturnuhun 😊