alvininfo.com -  Model matematika merupakan sebuah cara untuk mengubah permasalahan sehari-hari ke dalam bahasa matematika. Bentuk model matematika bisa berupa persamaan, pertidaksamaan dan fungsi. Model matematika pada program linear terdiri dari fungsi kendala dan fungsi tujuan

Fungsi tujuan merupakan fungsi yang akan ditentukan nilai optimumnya (maksimum atau minimum) yang bentuknya \(f(z)=ax+by\). Fungsi kendala merupakan syarat-syarat yang membatasi fungsi tujuan, kendala-kendala dari program linear berupa sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Untuk membuat model matematika kita perlu mengubah soal cerita dari bahasa Indonesia ke dalam bahasa matematika. 


Cara Membuat Soal Cerita Menjadi Model Matematika 


Langkah 1 :


Membuat fungsi kendala, caranya kalian harus membaca soal ceritanya dengan cermat dan teliti sampai bisa menentukan kata kuncinya setelah itu identifikasi soal ceritanya. 

Apakah jika diubah ke dalam bentuk model matematika berupa persamaan atau pertidaksamaan. Selanjutnya, misalkan produk/barang yang ada di soal sesuka hati karena tidak ada ketentuan khususnya tetapi biasanya yang dipakai \(x,y\) dan \(z\) untuk memudahkan dan buatlah sesuai bentuknya. 

Apabila soal ceritanya diubah ke dalam bentuk model matematika berupa pertidaksamaan maka jangan sampai salah menggunakan tanda.  

  • Jika terdapat kata kunci tidak kurang dari, minimal, memerlukan, paling sedikit, maka gunakan tanda ketidaksamaan lebih dari atau sama dengan \(\geq\).
  • Jika terdapat kata kunci tidak lebih dari, maksimal, hanya dapat menampung, maka gunakan tanda ketidaksamaan kurang dari atau sama dengan \(\leq\).
  • Jika tidak ada syarat minimal, maka tambahkan pertidaksamaan  \(x\)\(\geq\) \(0\)  dan \(y\) \(\geq\) \(0\).

Langkah 2 :


Membuat fungsi tujuannya. Dengan cara menjumlahkan harga atau nilai keuntungan dari setiap produk sehingga diperoleh bentuk \(f(z)=ax+by\). Fungsi tujuan digunakan untuk menentukan nilai minimum dan maksimum. 

Apabila di soal ceritanya tidak ada nilai, harga dari produknya, dan keuntungan atau kerugian maka fungsi tujuannya tidak ada. Fungsi tujuan ini biasanya terdapat pada soal cerita model matematika program linear.

Contoh Soal Model Matematika dalam Kehidupan Sehari-hari


Soal Nomor 1 


Pedagang beras memiliki modal Rp. 20.000.000,00 untuk membeli beras ramos dan beras bulog, untuk dijual kembali. Harga beli setiap kg beras ramos Rp 12.000,00 dan beras bulog Rp 8.000,00. Tempatnya hanya bisa menampung 1,5 ton beras. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut.

Pembahasan

Misalkan :

Beras ramos = \(x\)
Beras bulog = \(y\) 


Diketahui pada soal pedagang beras hanya memiliki modal 20 juta dan tempat untuk menampung beras hanya 1,5 ton artinya uang yang dibelanjakan untuk membeli beras tidak boleh melebihi 20 juta dan beras yang dibeli total beratnya tidak boleh melebihi 1,5 ton. Jangan lupa satuan nya disamakan.

Jadi model matematikanya adalah :

\(12000x+8000y\leq20000000\)
\(x+y\leq1500\)
\(x\geq0\)
\(y\geq0\)

Soal Nomor 2


Untuk membuat cireng diperlukan 100 gram tepung tapioka dan 200 gram tepung terigu. Sedangkan untuk cimol diperlukan 50 gram tepung tapioka dan 150 gram tepung terigu. Tepung tapioka yang tersedia hanya 6 kg dan tepung terigu hanya 3 kg. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut. 

Pembahasan

Misalkan :

Cireng = \(x\)
Cimol = \(y\) 


Diketahui pada soal tepung tapioka dan tepung terigu hanya tersedia masing-masing 6 kg dan 3 kg. Jadi tanda ketidaksamaanya adalah \(\leq\) karena tepung tapioka dan terigu yang dipakai tidak boleh melebihi dari yang tersedia.

Jadi model matematikanya adalah :

\(100x+50y\leq6000\)
\(200x+159y\leq3000\)
\(x\geq0\)
\(y\geq0\)

Soal Nomor 3


Untuk membuat roti dewi  dibutuhkan bahan 4 kg tepung dan 4 kg gula. Sedangkan untuk membuat roti dewa dibutuhkan 2 kg tepung dan 4 kg gula. Ibu memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula sebanyak 20 kg. Buatlah model matematika dari permasalahan kehidupan sehari-hari tersebut.

Pembahasan

Misalkan :

Roti dewi = \(x\)
Roti dewa = \(y\) 


Jadi model matematikanya adalah :

\(4x+2y\leq6\)
\(4x+4y\leq20\)
\(x\geq0\)
\(y\geq0\)

Soal Nomor 4 


Sebuah pabrik membuat dua jenis kasur A dan B. Paling sedikit harus diproduksi 500 kasur. Produksi tiap kasur jenis A membutuhkan waktu 2 jam dan jenis B membutuhkan waktu 5 jam kerja. Waktu total memproduksi kasur-kasur ini adalah 1.500 jam. Misalkan, kasur jenis A diproduksi sebanyak \(x\) buah dan kasur jenis B diproduksi \(y\) buah. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut.

Pembahasan 

Misalkan :

Kasur A \(= x\)
Kasur B \(=y\)


Karena total waktu produksinya 1500 jam jadi waktu yang diberikan untuk memproduksi kasur tidak boleh melebihi 1500 jam tetapi boleh 1500 jam. Untuk produksi paling sedikit 500 kasur jadi harus melebihi itu.

Jadi model matematikanya adalah :

\(2x+5y\leq1500\)
\(x+y\geq500\)
\(x\geq0\)
\(y\geq0\)


Contoh Soal Model Matematika 3 Variabel


Soal Nomor 1


Rahmat berbelanja 3 buku, 1 pensil dan 2 penghapus dangan total harga Rp 39.000. Rusmawan membeli 1 buku, 2 pensil, dan 3 penghapus dengan total harga Rp 26.000. Harga 1 buku Rp 5.000 lebih mahal dari pada harga 1 pensil. Buatlah model matematikanya.

Pembahasan

Misalkan :

Buku \(=x\)
Pensil \(=y\)
Penghapus \(=z\)

Rahmat \(\Rightarrow 3x+y+2z=39000\)
Rusmawan \(\Rightarrow x+2y+3z=26000\)
Harga \(1\) Buku \(\Rightarrow 5000+y\)

Jadi model matematikanya adalah :

\(3x+y+2z=39000\)
\(x+2y+3z=26000\)
\(x=5000+y\)

Soal Nomor 2


Atang, Jae dan Adit pergi ke toko buku untuk membeli alat tulis. Atang membeli 2 buah pensil, 3 buah penggaris dan 1 buah penghapus dengan harga Rp. 18.000,-. Jae membeli 4 buah pensil, 2 buah penggaris  dan 2 buah penghapus dengan harga Rp. 24.000,-. Sementara Adit membeli 3 buah pensil, 5 buah penggaris dan 1 penghapus dengan Rp. 27.000,-. Ubahlah kasus di atas menjadi model matematika sistem persamaan 3 variabel.

Pembahasan

Misalnya :

Pensil \(=x\)
Penggaris \(=y\)
Penghapus \(=z\)

Atang \(\Rightarrow 2x+3y+z=18000\)
Jae \(\Rightarrow 4x+2y+2z=24000\)
Adit \(\Rightarrow 3x+5y+z=27000\)

Jadi model matematikanya adalah :

\(2x+3y+z=18000\)
\(4x+2y+2z=24000\)
\(3x+5y+z=27000\)

Soal Nomor 3


Dalam suatu pengrajin pahat jepara terdapat tiga pekerja yaitu Pak Herman, Pak Coy dan Pak Gebeg. Jik bekerja bersama Pak Herman dan Pak Coy dapat menyelesaikan satu patung dalam waktu 6 hari. Pak Herman dan Pak Gebeg dapat menyelesaikan 1 patung dalam waktu 8 hari. Sedangkan Pak Coy dan Pak Gebeg dapat menyelesaikan 1 patung dalam waktu 7 hari. Buatlah model matematikanya.

Pembahasan

Misalkan :

Pak Herman \(=x\)
Pak Coy \(=y\)
Pak Gebeg \(=z\)

Soal cerita diatas adalah soal cerita perbandingan berbalik nilai. Kenapa disebut soal cerita perbandingan berbalik nilai? karena semakin banyak orang yang bekerja semakin sedikit waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan.

Pak Herman dan Pak Coy \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\) hari
Pak Herman dan Pak Gebeg \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{8}\) hari
Pak Coy dan Pak Gebeg \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{7}\) hari

Jadi model matematikanya adalah :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{8}\)
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{7}\)

Soal Nomor 4


Sebuah pekerjaan dapat diselesaikan oleh Ani, Bilqis dan Cica bersama-sama dalam waktu 4 jam. Jika Ani dan Cica mengerjakan bersama, maka pekerjaan dapat diselesaikan dalam waktu 6 jam sementara jika Bilqis dan Cica mengerjakan bersama, maka pekerjaan selesai dalam waktu 8 jam. Ubahlah kasus di atas menjadi model matematika spltv. 

Pembahasan

Ani \(= x\)
Bilqis \(= y\)
Cica \(= z\)

Soal nomor 4 adalah soal cerita perbandingan berbalik nilai alasannya sama seperti soal nomor 3.

Jadi model matematikanya adalah :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{8}\)

Soal Nomor 5 


Pak Luhut Panjaitan memiliki tiga hektar sawah yang ditanami padi dan sudah waktunya diberi pupuk. Ada tiga jenis pupuk yang harus disediakan, yaitu ZA, SP-36, NPK. Ketiga jenis pupuk inilah yang harus dipakai oleh para petani agar hasil panen dapat maksimal. Harga setiap karung pupuk ZA, SP-36, NPK masing-masing adalah Rp 75.000; Rp 120.000; dan Rp 150.000. Pak Luhut Panjaitan  membutuhkan sebanyak 40 karung untuk sawah yang ditanami padi. 

Pemakaian pupuk ZA 2 kali lebih banyak dari pupuk SP-36. Sementara dana yang disediakan Pak Luhut Panjaitan untuk membeli pupuk adalah Rp 4.020.000. Ubahlah kasus di atas menjadi model matematika spltv. 

Pembahasan

Misalkan :

ZA  \(= x\)
SP-36 \(=y\)
NPK \(=z\) 

Pak luhut membutuhkan sebanyak 40 karung pupuk dari tiga jenis pupuk ZA, SP-36, NPK  \(\Rightarrow x+y+z=40\)

Pemakaian pupuk ZA 2 kali lebih banyak dari pupuk SP-36 \(\Rightarrow y=2x\)

Harga setiap karung pupuk ZA, SP-36, NPK masing-masing adalah Rp 75.000; Rp 120.000; dan Rp 150.000 dan dana yang disediakan pak luhut untuk membeli pupuk Rp 4.020.000 \(\Rightarrow 75000x+120000y+150000z\\ = 4020000\)

Jadi model matematikanya adalah :

\(x+y+z=40\)
\(y=2x\)
\(75000x+120000y+150000z \\= 4020000\)

Soal Nomor 6 


Rio dan Rama membeli alat-alat tulis di sebuah koperasi. Rio membeli 4 serutan pensil, 6 buku gambar, dan 2 pensil warna dengan mengeluarkan uang sebesar Rp 19.000,00-. Rama membeli 3 buku gambar dan satu buah serutan pensil dengan mengeluarkan uang sebesar Rp 7.000,00-. Diketahui harga sebuah buku gambar Rp 2.000,00-. Ubahlah kasus di atas menjadi model matematika spltv!

Pembahasan
Misalkan :

Serutan pensil \(=x\)
Buku gambar \(=y\)
Pensil warna \(=z\)

Rio \(\Rightarrow 4x+6y+2z=19000\)
Rama \(\Rightarrow 3y+z=7000\)
Harga Buku gambar \(\Rightarrow y=2000\)

Jadi model matematika dari kasus di atas adalah :

\(4x+6y+2z=19000\)
\(3y+z=7000\)
\(y=2000\)

Soal Nomor 7 


Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Karim dan Pak Nurdin panen jeruk. Hasil kebun Pak Nurdin lebih sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Karim. Jika jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225 kg. Ubahlah kasus di atas menjadi model matematika spltv.  

Pembahasan

Misalkan :

Pak Ahmad \(=x\)
Pak Karim \(=y\)
Pak Nurdin \(=z\)

Hasil kebun Pak Nurdin lebih sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad \(\Rightarrow z=x-15\)

Hasil kebun Pak Nurdin lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Karim \(\Rightarrow z=y+15\)

Jumlah hasil panen ketiga kebun \(\Rightarrow x+y+z=225\)

Jadi model matematikanya adalah :

\(z=x-15\)
\(z=y+15\)
\(x+y+z=225\)

Contoh Soal Model Matematika Program Linear 


Soal Nomor 1


Di gudang terdapat kertas HVS ukuran F4 sejumlah 10 rim dan kertas efori F4 sejumlah 5 rim. Dari keduanya, akan dibuatkan kartu undangan. Setiap kartu undangan jenis pertama membutuhkan 1 kertas HVS dan setengah kertas efori. Sedangkan setiap kartu undangan jenis kedua membutuhkan setengah kertas HVS dan 1 kertas efori. Jika akan dicetak sebanyak \(x\) lembar kartu undangan jenis I dan \(y\) lembar kartu undangan jenis II. Keuntungan yang diperoleh dari kartu undangan jenis I Rp 10.000 dan kartu undangan jenis II Rp 20.000. Tentukan model matematika dan fungsi tujuannya.

Pembahasan

\(1\) rim = \(500\) lembar kertas

Misalkan :

HVS \(=x\)
Efori \(=y\)


Karena di gudang hanya terdapat kertas HVS ukuran F4 sejumlah 10 rim dan kertas efori F4 sejumlah 5 rim maka tanda ketidaksamaannya adalah \(\leq\)

Jadi model matematika dan fungsi tujuannya adalah :

\(x+\frac{1}{2}y\leq5000\)
\(\frac{1}{2}x+y\leq2500\)
\(f(z)=10000x+20000y\)
\(x\geq0\)
\(y\geq0\)

Soal Nomor 2


Seorang wirausaha mebel akan membuat meja dan kursi menggunakan bahan dari papan-papan kayu dengan ukuran tertentu. Satu meja membutuhkan 8 potong kayu sedangkan satu kursi membutuhkan 5 potong kayu. Papan yang dimiliki wirausaha itu hanya 200 potong kayu. Biaya pembuatan satu meja adalah Rp 200.000 sedangkan biaya pembuatan satu kursi adalah Rp 100.000. Total anggaran yang tersedia adalah Rp 10.000.000. Jika keuntungan penjualan dari satu unit meja Rp 50.000 dan satu unit kursi Rp 25.000. Tentukan model matematika dan fungsi tujuannya.

Pembahasan

Misalkan :

Meja \(=x\)
Kursi \(=y\)

Jadi model matematika dan fungsi tujuannya adalah :

\(8x+5y\leq200\)
\(200000x+100000y\leq10000000\)
\(f(z)=50000x+25000y\)
\(x\geq0\)
\(y\geq0\)

Soal Nomor 3


Pak Jimin berencana membangun sebuah dealer motor yang menyediakan motor A dan motor B. Harga beli sebuah motor A yaitu Rp 12.000.000 dan harga beli sebuah motor B Rp 14.000.000. Sedangkan modal yang dimiliki adalah Rp 336.000.000. Keuntungan setiap motor A Rp 2.400.000 dan motor B Rp 2.600.000. Pak Jimin hanya mampu memuat tidak lebih dari 25 kendaraan. Tentukan model matematika dan fungsi tujuannya !

Pembahasan

Misalkan :

Motor A \(=x\)
Motor B \(=y\)


Jadi model matematika dan fungsi tujuannya adalah :
NOTES : Untuk harga dan keuntungan memakai satuan jutaan

\(12x+14y\leq336\)
\(x+y\leq25\)
\(f(z)=2,4x+2,6y\)
\(x\geq0\)
\(y\geq0\)

Soal Nomor 4 


Seorang pedagang menyiapkan uang Rp 3.300.000,00 untuk belanja kemeja dengan harga Rp 40.000,00 per buah dan celana dengan harga Rp 100.000,00 per buah. banyaknya kemeja yang dia beli tidak kurang dari tiga kali celana. Ia mengambil keuntungan untuk sepotong celana sebesar Rp 20.000,00 dan Rp 12.000,00 untuk setiap potong kemeja. Tentukan model matematika dan fungsi tujuannya !

Pembahasan

Misalkan :

Kemeja \(=x\)
Celana \(=y\)

Model matematikanya adalah :

\(40000x+100000y\leq3300000\)
\(x\geq3y\)
\(f(z)=12000x+20000y\)
\(x\geq0\)
\(y\geq0\)

Soal Nomor 5 


Seorang petani membutuhkan paling sedikit 96 gram N dan 84 gram Mg untuk pupuk tanaman di lahannya. Kedua zat tersebut dapat diperoleh dari pupuk cair dan pupuk padat. Setiap botol pupuk cair dihargai Rp 50.000 dan mengandung 16 gram N dan 10 gram Mg. Setiap kantong pupuk padat dihargai Rp 40.000 dan mengandung 10 gram N dan 14 gram Mg. Tentukan model matematika dan fungsi tujuannya!

Pembahasan

Misalkan :

Pupuk cair \(=x\)
Pupuk padat \(=y\)

Model matematikanya :

\(16x+10y\geq96\)
\(10x+14y\geq84\)
\(f(z)=50000x+40000y\)
\(x\geq0\)
\(y\geq0\)