SPLTV Metode Substitusi - Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari tiga persamaan linear dan memiliki tiga variabel yang saling berkaitan. Contoh bentuk-bentuk sistem persamaan linear tiga variabel seperti di bawah ini.
\[\begin{cases}8x+3y+z=25\\4x+2y-2z=16\\x-2y+3z=3\end{cases}\]
\[\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{z}{3}=3\\ \frac{x}{5}-\frac{y}{3}=1\\ \frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1\end{cases}\]
\[\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2 \\ \frac{3}{x}-\frac{1}{y}+\frac{2}{z}=1\\ \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=3\end{cases}\]
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel ada banyak cara diantaranya ada metode substitusi, metode eliminasi, metode gabungan (eliminasi-substitusi) dan metode determinan. Di artikel ini saya hanya akan membahas cara menyelesaikan soal sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode substitusi.
Sebelum masuk ke prakteknya mungkin akan saya jelaskan dulu langkah-langkah bagaimana cara mengerjakan soal sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan metode substitusi.
Baca Juga : Soal Model Matematika
Langkah-langkah Mengerjakan SPLTV Metode Substitusi :
- Langkah 1: Pilih salah satu persamaan lalu ubah dari bentuk persamaan menjadi bentuk fungsi, misalnya dari bentuk \(x+y+z=2\) menjadi \(x=2-(y+z)\) atau jika dikalikan menjadi \(z=2-y-z\).
- Langkah 2 : Substitusikan\(z=2-y-x\) ke dua persamaan linier yang bentuk nya belum berubah.
- Langkah 3 : Setelah melakukan langkah 2 anda akan mendapatkan \(2\) persamaan dua variabel, lalu ubah salah satu persamaan dua variabel tersebut menjadi bentuk fungsi. Caranya sama seperti langkah 1.
- Langkah 4 : Setelah melakukan proses langkah 3, Selanjutnya lakukan kembali langkah 2 sampai didapatkan nilai dari kedua variabel.
- Langkah 5 : Substitusikan nilai kedua varibel ke salah satu persamaan linear tiga variabel
- Langkah 6 : Pembuktian dengan substitusikan ketiga nilai variabel ke salah satu persamaan.
- Langkah 7 : Selesai.
Langkah-langkah di atas beserta teorinya akan kita gunakan dan ditulis ulang untuk menjawab soal spltv metode substitusi nomer satu di bawah ini :
Soal SPLTV Metode Substitusi dan Pembahasannya
Soal Nomor 1
\( \begin{cases}x-3y+2z=9\\ 2x+4y-3z=-9\\ 3x-2y+5z=12 \end{cases}\)
Pembahasan
\( \begin{cases}x-3y+2z=9\rightarrow Persamaan \hspace{1mm} 1\\ 2x+4y-3z=-9\rightarrow Persamaan\hspace{1mm} 2\\ 3x-2y+5z=12\rightarrow Persamaan \hspace{1mm}3 \end{cases}\)
Langkah 1 :
Ubah salah satu persamaan dari bentuk persamaan menjadi bentuk fungsi, misalnya dari bentuk \(x+y+z=2\) menjadi \(x=2-(y+z)\) atau jika dikalikan menjadi \(z=2-y-z\).
Kita akan memilih persamaan \(1\) untuk mempermudah proses pengerjaan karena ada variabel yang hanya memiliki koefisien bernilai satu yaitu variabel \(x\) dan ini bebas tidak ketentuan khususnya, jadi kalian berhak memilih persamaan yang mana saja untuk dijadikan fungsi. Selanjutnya praktekan langkah \(1\).
\(x-3y+2z=9\)
\(x=9-(-3y+2z)\)
\(x=9+3y-2z\)
Langkah 2 :
Substitusikan\(z=2-y-x\) ke dua persamaan linier yang bentuk nya belum berubah.
Substitusikan \(x=9+3y-2z\) ke Persamaan \(2\) dan Persamaan \(3\).
👉Substitusikan \(x\) ke Persamaan \(2\)
\(2x+4y-3z=-9\)
\(2(9+3y-2z)+4y-3z=-9\)
\(18+6y-4z+4y-3z=-9\)
\(6y-4z+4y-3z=-9-18\)
\(10y-7z=-27\Rightarrow\) Persamaan dua variabel yang diberi nama Persamaan \(4\) biar mudah untuk mengingatnya saja.
👉Substitusikan \(x\) ke Persamaan \(3\)
\(3x-2y+5z=12\)
\(3(9+3y-2z)-2y+5z=12\)
\(27+9y-6z-2y+5z=12\)
\(7y-z=-15 \Rightarrow\) Persamaan \(5\)
Langkah 3 :
Setelah melakukan langkah 2 anda akan mendapatkan \(2\) persamaan dua variabel, selanjutnya ubahlah salah satu persamaan dua variabel tersebut menjadi bentuk fungsi. Caranya sama seperti langkah 1.
\(10y-7z=-27\Rightarrow\) Persamaan \(4\)
\(7y-z=-15 \Rightarrow\) Persamaan \(5\)
Mengubah Persamaan \(5\) ke dalam bentuk fungsi
\(7y-z=-15\)
\((-z=-15-7y)\) \(\times -1\)
\(z=15+7y\)
Langkah 4 :
Setelah melakukan proses langkah 3, Selanjutnya lakukan kembali langkah 2 sampai didapatkan nilai dari kedua variabel
Substitusikan \(z=15+7y\) ke Persamaan \(4\)
\(10y-7z=-27\)
\(10y-7(15+7y)=-27\)
\(10y-105-49y=-27\)
\(-105-39y=-27\)
\(-39y=-27+105\)
\(-39y=78\)
\(y=-2\)
Substitusikan \(y=-2\) ke Persamaan \(5\)
\(7y-z=-15\)
\(7(-2)-z=-15\)
\(-14-z=-15\)
\(-z=-15+14\)
\(-z=-1\)
\(z=1\)
Langkah 5 :
Substitusikan nilai kedua varibel ke salah satu persamaan linear tiga variabel
Substitusikan \(y=-2\) dan \(z=1\) ke salah satu persamaan linear tiga variabel dan saya memilih Persamaan \(1\)
\(x-3y+2z=9\)
\(x-3(-2)+2(1)=9\)
\(x+6+2=9\)
\(x=9-8\)
\(x=1\)
Langkah 6 :
Pembuktian dengan substitusikan ketiga nilai variabel ke salah satu persamaan atau semua persamaan.
Substitusikan ketiga nilai variabel \(x=1\), \(y=-2\) dan \(z=1\) ke semua persamaan boleh, ke salah satu atau salah dua persamaan juga boleh tetapi lebih bagus ke semua persamaan dan pada kali ini akan saya substitusikan ke semua persamaan.
\( \begin{cases}x-3y+2z=9\rightarrow Persamaan\hspace{1mm}1\\ 2x+4y-3z=-9\rightarrow Persamaan\hspace{1mm} 2\\ 3x-2y+5z=12\rightarrow Persamaan\hspace{1mm}3 \end{cases}\)
Pembuktian Persamaan \(1\)
\(x-3y+2z=9\)
\(1-3(-2)+2(1)=9\)
\(1+6+2=9\rightarrow 9=9\) Terbukti
Pembuktian Persamaan \(2\)
\(2x+4y-3z=-9\)
\(2(1)+4(-2)-3(1)=-9\)
\(2-8-3=-9\rightarrow -9=-9\) Terbukti
Pembuktian Persamaan \(3\)
\(3x-2y+5z=12\)
\(3(1)-2(-2)+5(1)=12\)
\(3+4+5=12\rightarrow 12=12\) Terbukti
SELESAI.
Mungkin untuk soal selanjutnya saya tidak akan menjelaskan serinci soal nomer \(1\) paling hanya pake langkah-langkahnya saja.
Soal Nomor 2
\(\begin{cases}3x+2y-z=18\hspace{3mm}Persamaan \hspace{1mm}1\\x+4y+z=20\hspace{3mm}Persamaan\hspace{1mm}2\\-2x+y-z=3\hspace{3mm}Persamaan\hspace{1mm}3\end{cases}\)
Pembahasan
Langkah 1 :
Mengubah salah satu persamaan dan saya memilih persamaan \(2\) 👉 \(x+4y+z=20\) \(\Rightarrow\) \(x=20-4y-z\)
Langkah 2 :
Substitusikan \(x=20-4y-z\) ke dua persamaan linier tiga variabel.
Substitusikan \(x\) ke Persamaan \(1\)
\(3(20-4y-z)+2y-z=18\)
\(60-12y-3z+2y-z=18\)
\(-10y-4z=18-60\)
\(-10y-4z=-42\)
\(10y+4z=42\) \(\Rightarrow\) Persamaan \(4\)
Substitusikan \(x\) ke Persamaan \(3\)
\(-2x+y-z=3\)
\(-2(20-4y-z)+y-z=3\)
\(-40+8y+2z+y-z=3\)
\(9y+z=43\) \(\Rightarrow\) Persamaan \(5\)
Langkah 3:
\(10y+4z=42\) \(\Rightarrow\) Persamaan \(4\)
\(9y+z=43\) \(\Rightarrow\) Persamaan \(5\)
Mengubah Persamaan \(5\) menjadi bentuk fungsi
\(9y+z=43\)
\(z=43-9y\)
Langkah 4 :
Substitusikan \(z=43-9y\) ke persamaan \(4\)
\(10y+4z=42\)
\(10y+4(43-9y)=42\)
\(10y+172-36y=42\)
\(-26y=42-172\)
\(-26y=-130\)
\(y=5\)
Substitusikan \(y=5\) ke \(z=43-9y\)
\(z=43-9y\)
\(z=43-9(5)\)
\(z=43-45\)
\(z=-2\)
Langkah 5 :
Untuk mencari nilai \(x\) substitusikan \(y=5\) dan \(z=-2\) ke salah satu persamaan linear tiga variabel atau biar lebih cepat bisa substitusikan ke fungsi \(x\) yang sudah dibuat pada langkah \(1\).
\(x=20-4y-z\)
\(x=20-4(5)-(-2)\)
\(x=20-20+2\)
\(x=2\)
Langkah 6 :
Pembuktian dengan cara substitusikan \(x=2\), \(y=5\) dan \(z=-2\) ke satu persamaan aja ya biar cepet, kalian boleh coba dirumah ke semua persamaan pasti hasilnya sama aja kok dan pada kali ini saya memilih persamaan \(2\).
\(x+4y+z=20\)
\(2+4(5)-2=20\)
\(2+20-2=20\)
\(20=20\) \(\Rightarrow\) Terbukti.
Soal Nomor 3
\(\begin{cases}2x-y+2z=12 \hspace{3mm} Persamaan \hspace{2mm}1\\x+y+z=12\hspace{3mm}Persamaan\hspace{2mm}2\\ 3x+2y-z=8\hspace{3mm}Persamaan\hspace{2mm}3 \end{cases}\)
Pembahasan
Langkah 1 :
Mengubah Persamaan \(2\)
\(x+y+z=12\)
\(x=12-y-z\)
Langkah 2 :
Substitusikan \(x=12-y-z\) ke Persamaan \(1\) dan Persamaan \(3\)
Persamaan \(1\)
\(2x-y+2z=12\)
\(2(12-y-z)-y+2z=12\)
\(24-2y-2z-y+2z=12\)
\(24-3y=12\)
\(-3y=12-24\)
\(-3y=-12\)
\(y=4\)
Persamaan \(3\)
\(3x+2y-z=8\)
\(3(12-y-z)+2y-z=8\)
\(36-3y-3z+2y-z=8\)
\(-y-4z=8-36\)
\((-y-4z=-28)\) \(\times -1\)
\(y+4z=28\)
Langkah 3 :
Substitusikan \(y=4\) ke \(y+4z=28\)
\(y+4z=28\)
\(4+4z=28\)
\(4z=28-4\)
\(4z=24\)
\(z=6\)
Langkah 4 :
Untuk mencari nilai \(x\) substitusikan \(y=4\) dan \(z=6\) ke persamaan \(2\) yang telah diubah menjadi bentuk fungsi \(x=12-y-z\)
\(x=12-y-z\)
\(x=12-4-6\)
\(x=12-10\)
\(x=2\)
Langkah 5 :
Untuk membuktikan nilai \(x\), \(y\) dan \(z\) caranya dengan substitusi ke semua persamaan sptlv tetapi pada kali ini saya akan substitusi ke salah satu persamaannya aja sisanya kalian boleh coba sendiri di rumah masing-masing.
\(2x-y+2z=12\)
\(2(2)-4+2(6)=12\)
\(4-4+12=12\)
\(12=12\) Terbukti
Soal Nomor 4
\(\begin{cases}\frac{6}{x}-\frac{3}{y}+\frac{4}{z}=1\\ \frac{3}{x}+\frac{2}{y}-\frac{2}{z}=2\\ \frac{-9}{x}+\frac{1}{y}+\frac{6}{z}=1\end{cases}\)
Pembahasan
Langkah 1 :
Misalnya
- \(\frac{1}{x}= a\)
- \(\frac{1}{y}=b\)
- \(\frac{1}{z}=c\)
Diperoleh :
\(\begin{cases}6a-3b+4c=1\\ 3a+2b-2c=2\\ -9a+b+6c=1\end{cases}\)
Langkah 2 :
Mengubah \(-9a+b+6c=1\) menjadi \(b=1+9a-6c\)
Langkah 3 :
Substitusikan \(b=1+9a-6c\) ke persamaan selain \(-9a+b+6c=1\)
Substitusikan \(b=1+9a-6c\) ke \(6a-3b+4c=1\)
\(6a-3b+4c=1\)
\(6a-3(1+9a-6c)+4c=1\)
\(6a-3-27a+18c+4c=1\)
\(-21a+22c=1+3\)
\(-21a+22c=4\)
Substitusikan \(b=1+9a-6c\) ke \(3a+2b-2c=2\)
\(3a+2b-2c=2\)
\(3a+2(1+9a-6c)-2c=2\)
\(3a+2+18a-12c-2c=2\)
\(21a-14c=2-2\)
\(21a-14c=0\)
\(21a=14c\)
Substitusikan \(21a=14c\) ke \(-21a+22c=4\)
\(-21a+22c=4\)
\(-(14c)+22c=4\)
\(-14c+22c=4\)
\(8c=4\)
\(c=\frac{4}{8}\)
\(c=\frac{1}{2}\)
Untuk mencari nilai \(a\) substitusikan \(c=\frac{1}{2}\) ke \(21a=14c\)
\(21a=14c\)
\(21a=14(\frac{1}{2})\)
\(21a=7\)
\(a=\frac{7}{21}\)
\(a=\frac{1}{3}\)
Untuk mencari nilai \(b\) substitusikan \(a=\frac{1}{3}\) dan \(c=\frac{1}{2}\) ke \(b=1+9a-6c\)
\(b=1+9a-6c\)
\(b=1+9(\frac{1}{3})-6(\frac{1}{2})\)
\(b=1+3-3\)
\(b=1\)
Karena \(a\), \(b\) dan \(c\) adalah bentuk pemisalan maka kita perlu memasukan nilai \(a\), \(b\) dan \(c\) ke bentuk sesungguhnya.
\(\frac{1}{x}= a\)
\(\frac{1}{x}= \frac{1}{3}\)
\(x=3\)
\(\frac{1}{y}=b\)
\(\frac{1}{y}=1\)
\(y=1\)
\(\frac{1}{z}=c\)
\(\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\)
\(z=2\)
Langkah 4 :
Pembuktian, seperti soal sebelumnya untuk pembuktian saya hanya menggunakan salah satu persamaan aja.
\(\frac{6}{x}-\frac{3}{y}+\frac{4}{z}=1\)
\(\frac{6}{3}-\frac{3}{1}+\frac{4}{2}=1\)
\(2-3+2=1\) Terbukti.
Baca Juga : Persamaan Logaritma
Akhir Kata
Untuk penyelesaian SPLTV metode substitusi, kalo kalian sudah mahir nanti pasti bakal bisa mengerjakan soal SPLTV tanpa perlu mengikuti langkah-langkah yang saya buat. Sebagai perbandingan pada artikel ini saya membuat 4 soal, pada soal nomer 1 pembahasannya disesuaikan berdasarkan langkah-langkah pengerjaan soal SPLTV yang saya buat.
Nomer \(2\), \(3\) dan \(4\) itu pembahasannya tidak serinci nomer satu. Jadi kalian bisa pelajari nomer \(2\), \(3\) dan \(4\) biar makin mantep. Terimakasih
