alvininfo.com - Pada kesempatan kali ini saya akan membahas contoh soal turunan fungsi aljabar, fungsi trigonometri dan parsial tanpa menjelaskan terlebih dahulu konsepnya. Mungkin jika kalian belum mengerti mengenai konsep materi dari contoh soal turunan yang saya buat pada artikel ini. Nanti akan saya buatkan simpel konsep dari setiap materi turunan pada artikel terpisah.
Baca Juga : Soal Persamaan Kuadrat
Saya akan membahas berbagai bentuk contoh soal turunan dari setiap materi turunan fungsi aljabar, fungsi trigonometri dan parsial. Tujuannya agar kalian semakin matang dalam menguasai konsep turunan sehingga bisa mengerjakan soal turunan dalam bentuk apapun.
Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar dan Pembahasannya
Ada 20 contoh soal turunan fungsi aljabar lengkap dengan pembahasannya, silahkan pelajari sampai selesai.
Soal Nomor 1
Turunan \(f(x)=3x^{2}+5x-6\) adalah...
Pembahasan
Ingat ! aturan turunan pertama fungsi aljabar bentuk di bawah ini :
\[f^{'}(x)=nax^{n-1}\]
\(f(x)=3x^{2}+5x-6\)
\(f^{'}(x)=2\times 3x^{2-1}+1\times 5x^{1-1}-0\times 6x^{0-1}\)
\(f^{'}(x)=2\times 3x^{1}+1\times 5x^{0}-0\times6x^{-1}\)
\(f^{'}(x)= 6x^{1}+ 5x^{0}- 0 \)
\(f^{'}(x)= 6x+ 5(1) \)
\(f^{'}(x)= 6x+ 5 \)
Jadi turunan dari \(f(x)=3x^{2}+5x-6\) adalah \(f^{'}(x)= 6x+ 5 \)
Soal Nomor 2
Turunan pertama dari \(f(x)=8+2x^{2}-x^{4}\) adalah....
Pembahasan
Karena bentuknya masih sama, gunakan saja aturan turunan yang dipakai untuk menjawab soal nomor 1.
\(f(x)=8+2x^{2}-x^{4}\)
\(f^{'}(x)=0 \times 8x^{0-1} + 2 \times 2x^{2-1}- 4 \times x^{4-1}\)
\(f^{'}(x)=0\times 8x^{-1}+2 \times 2x^{1}- 4 \times x^{3}\)
\(f^{'}(x)= 0+ 4x^{1}- 4x^{3}\)
\(f^{'}(x)= 4x- 4x^{3}\)
Jadi turunan dari \(f(x)=8+2x^{2}-x^{4}\) adalah \(f^{'}(x)= - 4x^{3} + 4x\)
Soal Nomor 3
Jika \(f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{2}\), maka \(f^{'}(x) = ....\)
Pembahasan
Dapat dilihat oleh kalian bentuknya masih sama seperti nomor 1 dan 2 yaitu bentuk persamaan polinomial hanya saja nomer 3 ini koefisiennya adalah bilangan rasional. Untuk cara pengerjaannya masih sama saja.
\(f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{2}\)
\(f^{'}(x)= 3 \times \frac{2}{3}x^{3-1}- 2 \times \frac{1}{4}x^{2-1}\)
\(f^{'}(x)= 3 \times \frac{2}{3}x^{2}- 2 \times \frac{1}{4}x^{1}\)
\(f^{'}(x)= 2x^{2}- \frac{1}{2}x^{1}\)
\(f^{'}(x)= 2x^{2}- \frac{1}{2}x\)
Jadi turunan dari \(f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{2}\) adalah \(f^{'}(x)= 2x^{2}- \frac{1}{2}x\)
Soal Nomor 4
Turunan pertama fungsi \(f(x)=\frac{5}{x^{2}}\) adalah \(f^{'}(x)=..\)
Pembahasan
Ingat !
\(\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}\)
\(f(x)=\frac{5}{x^{2}}\)
\(f(x)= 5x^{-2}\)
\(f^{'}(x)= -2 \times 5x^{-2-1}\)
\(f^{'}(x)= -2 \times 5x^{-3}\)
\(f^{'}(x)= -10x^{-3}\) atau \(f^{'}(x)=\frac{-10}{x^{3}}\)
Soal Nomor 5
Diketahui \(y=(x^{2}+1)(x^{3}-1)\), maka \(y^{'}\) adalah......
Pembahasan
Karena soal nomer 5 bentuk turunan fungsi aljabarnya berupa perkalian maka aturan untuk menurunkannya tentu beda lagi. Adapun untuk aturan turunan fungsi aljabar berupa perkalian yaitu :
\[y=uv \Rightarrow y^{'}=u^{'}v+uv{'}\]
Langkah 1 :
Misalnya :
👉 \((x^{2}+1)=u\)
👉 \((x^{3}-1)=v\)
Langkah 2 :
Turunkan bentuk yang sudah dimisalkan pada langkah 1.
\(u=x^{2}+1\)
\(u=x^{2}+1x^{0}\)
\(u^{'}= 2 \times x^{2-1}+ 0 \times 1x^{0-1}\)
\(u^{'}= 2 \times x^{1}+ 0 \times 1x^{-1}\)
\(u^{'}= 2x\)
\(v = x^{3}-1\)
\(v = x^{3}-1x^{0}\)
\(v^{'} = 3 \times x^{3-1}- 0 \times 1x^{0-1}\)
\(v^{'} = 3 \times x^{2}- 0 \times 1x^{-1}\)
\(v^{'} = 3x^{2}\)
Langkah 3 :
Karena yang dibutuhkan untuk menurunkan fungsi aljabar soal nomor 5 sudah tersedia semua. Jadi selanjutnya tinggal subtitusikan saja ke aturan turunan fungsi aljabar bentuk perkalian \(y^{'}=u^{'}v+uv{'}\).
\(y^{'}=u^{'}v+uv{'}\)
\(y^{'}= 2x(x^{3}-1)+ (x^{2}+1)3x^{2}\)
\(y^{'}= 2x^{4}-2x+3x^{4}+3x^{2}\)
\(y^{'}= 5x^{4}+3x^{2}-2x\)
Jadi didapatkan \(y^{'}= 5x^{4}+3x^{2}-2x\)
Soal Nomor 6
Jika \(g(x)=5x^{2}+4px-3\) dan \(g^{'}(x)=4\) maka nilai dari \(g^{'}(1)\) adalah...
Pembahasan
Langkah 1 :
Turunkan fungsi aljabar \(g(x)=5x^{2}+4px-3\)
\(g(x)=5x^{2}+4px-3\)
\(g^{'}(x)= 2 \times 5x^{2-1}+1 \times 4px^{1-1}- 0 \times 3x^{0-1}\)
\(g^{'}(x)= 2 \times 5x^{1}+1 \times 4px^{0}- 0 \times 3x^{-1}\)
\(g^{'}(x)= 10x^{1}+4px^{0}\)
\(g^{'}(x)= 10x+4p\)
Langkah 2 :
\(g^{'}(x)=4\)
\(g^{'}(x)= 10x+4p\)
\(4 = 10x+4p\)
\(4-10x= 4p\)
Diperoleh \(4-10x= 4p\)
Langkah 3 :
Substitusikan \(4-10x= 4p\) ke \(g^{'}(x)= 10x+4p\) untuk mencari \(g^{'}(1)\)
\(g^{'}(x)= 10x+4p\)
\(g^{'}(x)= 10x+4-10x\)
\(g^{'}(1)= 10(1)+4-10(1)\)
\(g^{'}(1)= 10+4-10\)
\(g^{'}(1)= 4\)
Soal Nomor 7
Diketahui \(f(x)=x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\) maka fungsi \(f^{'}(x)\) adalah....
Pembahasan
\(f(x)=x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(f(x)=x\times x^{{\frac{1}{2}}}+x^{\frac{-1}{2}}\)
\(f(x)=x^{1+\frac{1}{2}}+x^{\frac{-1}{2}}\)
\(f(x)=x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{-1}{2}}\)
\(f^{'}(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}+( \frac{-1}{2})x^{\frac{-1}{2}-1}\)
\(f^{'}(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{\frac{-3}{2}}\)
\(f^{'}(x)= \frac{3x^{2}-1}{2x\sqrt{x}}\)
Soal Nomor 8
Turunan \(g(x) = \frac{3}{x^{2}}-\frac{x}{2}+\sqrt{x}\) adalah.....
Pembahasan
\(g(x) = \frac{3}{x^{2}}-\frac{x}{2}+\sqrt{x}\)
\(g(x) = 3x^{-2}-\frac{1}{2}x+ x^{\frac{1}{2}}\)
\(g^{'}(x) = -2 \times 3x^{-2-1}- 1 \times \frac{1}{2}x^{1-1}+ \frac{1}{2} \times x^{\frac{1}{2}-1}\)
\(g^{'}(x) = -2 \times 3x^{-3}- 1 \times \frac{1}{2}x^{0}+ \frac{1}{2} \times x^{\frac{-1}{2}}\)
\(g^{'}(x) = -6x^{-3}- \frac{1}{2}x^{0}+ \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}\)
\(g^{'}(x) = -6x^{-3}- \frac{1}{2}(1)+ \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}\)
\(g^{'}(x) = -6x^{-3}- \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}\)
\(g^{'}(x) = \frac{-6}{x^{3}}+ \frac{1}{2\sqrt {x}}- \frac{1}{2}\)
Soal Nomor 9
Turunan \(f(x) = 2x + \frac {1}{2x}\) pada \(x=1\) adalah....
Pembahasan
\(f(x) = 2x + \frac {1}{2x}\)
\(f(x) = 2x + \frac {1}{2}x^{-1}\)
\(f(x) = 2x + \frac {1}{2}x^{-1}\)
\(f^{'}(x) = 1 \times 2x^{1-1} + (-1) \times \frac{1}{2}x^{-1-1}\)
\(f^{'}(x) = 1 \times 2x^{0} + (-1) \times \frac{1}{2}x^{-2}\)
\(f^{'}(x) = 1 \times 2(1) - 1 \times \frac{1}{2}x^{-2}\)
\(f^{'}(x) = 2 - \frac{1}{2}x^{-2}\)
\(f^{'}(x) = 2 - \frac{x^{-2}}{2}\)
\(f^{'}(x) = 2 - \frac{1}{2x^{2}}\)
\(f^{'}(1) = 2 - \frac{1}{2(1)^{2}}\)
\(f^{'}(1) = 2 - \frac{1}{2(1)}\)
\(f^{'}(1) = \frac{4-1}{2}= \frac{3}{2}\)
Soal Nomor 10
Jika \(f(x)=px^{3}-8x^{2}+3\) dan \(f^{'}(2)=16\) , maka nilai \(f(1)-4f^{'}(1)+2p=....\)
Pembahasan
Langkah 1 :
\(f(x)=px^{3}-8x^{2}+3\)
\(f^{'}(x)=3\times px^{3-1}- 2 \times 8x^{2-1}+3\)
\(f^{'}(x)=3\times px^{2}- 2 \times 8x^{1}\)
\(f^{'}(x)=3px^{2}- 16x\)
Langkah 2 :
Mencari nilai \(f^{'}(1)\)
\(f^{'}(1)=3p(1)^{2}- 16(1)\)
\(f^{'}(1)=3p- 16\)
Mencari nilai \(f(1)\)
\(f(x)=px^{3}-8x^{2}+3\)
\(f(1)=p(1)^{3}-8(1)^{2}+3\)
\(f(1)=p(1)-8(1)+3\)
\(f(1)=p-8+3\)
\(f(1)=p-5\)
Mencari nilai \(p\)
\(f^{'}(x)=3px^{2}- 16x\)
\(f^{'}(2)=3p(2)^{2}- 16(2)\)
\(f^{'}(2)=3p(4)- 32\)
\(f^{'}(2)=12p- 32\)
\(16=12p- 32\)
\(16+32=12p\)
\(48=12p\)
\(p=4\)
Langkah 3 :
Mencari nilai \(f(1)-4f^{'}(1)+2p=....\)
\(f(1)-4f^{'}(1)+2p=....\)
\(p-5-4(3p- 16)+2p=....\)
\(p-5-12p+64+2p=....\)
\(4-5-12(4)+64+2(4)=....\)
\(4-5-48+64+8=....\)
\(-1+16+8= 23\)
Jadi nilai \(f(1)-4f^{'}(1)+2p= 23\)
Soal Nomor 11
Turunan \(f(x)=(2x-1)(x+1)\) adalah....
Pembahasan
Misalnya :
\(u=2x-1\)
\(v=x+1\)
Langkah 1 :
Turunkan \(u\) dan \(v\)
\(u=2x-1\)
\(u^{'}=2\)
\(v=x+1\)
\(v^{'}=1\)
Langkah 2 :
\(y^{'}= u^{'}v + u v^{'}\)
\(f(x)^{'}= 2(x+1)+ (2x-1)1\)
\(f(x)^{'}= 2x+2+ 2x-1\)
\(f(x)^{'}= 4x+1\)
Soal Nomor 12
Jika \(y=\frac{2}{3}(3x+1)(x-2)\) maka \(\frac{dy}{dx}= .....\)
Pembahasan
\(y=\frac{2}{3}(3x+1)(x-2)\)
\(y=\frac{2}{3}(3x^{2}-5x-2)\)
\(y=2x^{2}-\frac{10}{3}x-\frac{4}{3}\)
\(\frac{dy}{dx}= 2 \times 2x^{2-1}- 1\times \frac{10}{3}x^{1-1}-\frac{4}{3}\)
\(\frac{dy}{dx}= 2 \times 2x^{1}- 1\times \frac{10}{3}x^{0}\)
\(\frac{dy}{dx}= 2 \times 2x - 1\times \frac{10}{3}(1)\)
\(\frac{dy}{dx}= 4x - \frac{10}{3}\)
Soal Nomor 13
Jika \(y=(3x^{2}-2)(2x+3)\), maka \(y^{'}=...\)
Pembahasan
Misalnya :
\(u=3x^{2}-2\)
\(v=2x+3\)
Langkah 1 :
\(u=3x^{2}-2\)
\(u^{'}= 2 \times 3x^{2-1}-2\)
\(u^{'}= 2 \times 3x^{1}\)
\(u^{'}= 2 \times 3x\)
\(u^{'}= 6x\)
\(v=2x+3\)
\(v^{'}=2\)
Langkah 2 :
\(y^{'}= u^{'}v + u v^{'}\)
\(y^{'}= 6x (2x+3) + (3x^{2}-2) 2 \)
\(y^{'}= 12x^{2}+18x+ 6x^{2}-4 \)
\(y^{'}= 18x^{2}+18x-4 \)
Soal Nomor 14
Turunan dari \(y=(x-1)(x^{2}+x+1)\) adalah....
Pembahasan
Misalkan :
\(u=x-1\)
\(v=x^{2}+x+1\)
Langkah 1 :
\(u=x-1\)
\(u^{'}=1\)
\(v=x^{2}+x+1\)
\(v^{'}=2x+1\)
Langkah 2 :
\(y^{'}= u^{'}v + u v^{'}\)
\(y^{'}= 1 (x^{2}+x+1) + (x-1)(2x+1)\)
\(y^{'}= x^{2}+x+1+2x^{2}+x-2x-1\)
\(y^{'}= 3x^{2}\)
Soal Nomor 15
Diketahui \(f(x)=(2x^{3}-4)^{2}\). Fungsi \(f^{'}(x)=.....\)
Pembahasan
Untuk menjawab soal turunan bentuk seperti ini, kita akan gunakan aturan rantai :
\[y^{'}=f^{'}(u(x)).u^{'}(x)\]
\(f(x)=(2x^{3}-4)^{2}\)
\(f^{'}(x)=2(2x^{3}-4)^{2-1}(2x^{3}-4)\)
\(f^{'}(x)=2(2x^{3}-4)^{2-1}(3\times2x^{3-1}-4)\)
\(f^{'}(x)=2(2x^{3}-4)^{2-1}(6x^{2})\)
\(f^{'}(x)=2(2x^{3}-4)(6x^{2})\)
\(f^{'}(x)=12x^{2}(2x^{3}-4)\)
Soal Nomor 16
Turunan pertama dari \(f(x)=(3x^{2}-7)^{4}\) adalah \(f^{'}(x)=...\)
Pembahasan
\(f(x)=(3x^{2}-7)^{4}\)
\(f^{'}(x)= 4 (3x^{2}-7)^{4-1}(2\times 3x^{2-1}-7)\)
\(f^{'}(x)= 4 (3x^{2}-7)^{3}(2 \times 3x)\)
\(f^{'}(x)= 4 (3x^{2}-7)^{3}(6x)\)
\(f^{'}(x)= 24x (3x^{2}-7)^{3}\)
Soal Nomor 17
Turunan dari \(y=\sqrt[3]{4x-1}\) adalah...
Pembahasan
\(y=\sqrt[3]{4x-1}\)
\(y = (4x-1)^{\frac{1}{3}}\)
\(y^{'} = \frac{1}{3} \times (4x-1)^{\frac{1}{3}-1}(1\times 4x^{1-1}-1)\)
\(y^{'} = \frac{1}{3} \times (4x-1)^{\frac{-2}{3}}(1\times 4x^{0})\)
\(y^{'} = \frac{1}{3} \times (4x-1)^{\frac{-2}{3}}(4)\)
\(y^{'} = \frac{4}{3 \sqrt [3]{(4x-1)^{2}}} \)
Soal Nomor 18
Jika \(f(x)=(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+1}\), maka \(f^{'}(x)=...\)
Pembahasan
\(f(x)=(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+1}\)
\(f(x)=(x+1) (x^{2}-2x+1)^{\frac{1}{2}}\)
\(f(x)=(x+1) (x^{2}-2x+1)^{\frac{1}{2}}\)
Untuk menjawab soal ini gunakan aturan pertama turunan dan aturan rantai.
Misalnya :
👉 \(x+1=u\)
👉\((x^{2}-2x+1)^{\frac{1}{2}}=v\)
Langkah 1 :
\(u=x+1\)
\(u^{'}=1\)
Untuk menurunkan bentuk \(v\) kalian harus menurunkannya dengan aturan rantai :
\(v=(x^{2}-2x+1)^{\frac{1}{2}}\)
\(v^{'}=\frac{1}{2}(x^{2}-2x+1)^{\frac{1}{2}-1}(2\times x^{2-1}\\ -1\times 2x^{1-1}+ 0 \times 1x^{0-1})\)
\(v^{'}=\frac{1}{2}(x^{2}-2x+1)^{\frac{-1}{2}}(2x^{1}-2x^{0})\)
\(v^{'}=\frac{1}{2}(x^{2}-2x+1)^{\frac{-1}{2}}(2x-2)\)
\(v^{'}=(x^{2}-2x+1)^{\frac{-1}{2}}(x-1)\)
\(v^{'}=\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}\)
Langkah 2 :
\(y^{'}= u^{'}v + u v^{'}\)
\(y^{'}= (1)\sqrt{x^{2}-2x+1} + (x+1)\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+1}} \)
\(y^{'}= \sqrt{x^{2}-2x+1} + \frac{x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-2x+1}} \)
\(y^{'}= \frac{x^{2}-1 + x^{2}-2x+1}{\sqrt{x^{2}-2x+1}} \)
\(y^{'}= \frac{2x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}-2x+1}} \)
\(y^{'}= \frac{2x(x-1)}{ (x^{2}-2x+1)^{\frac{1}{2}}} \)
\(y^{'}= \frac{2x(x-1)}{ ((x-1)^{2})^{\frac{1}{2}}} \)
\(y^{'}= \frac{2x(x-1)}{x-1} \)
\(y^{'}= 2x \)
Soal Nomor 19
Turunan pertama dari fungsi yang dinyatakan dengan \(f(x)=\frac{4x-3}{5-2x}\) adalah \(f^{'}(x)=...\)
Pembahasan
Kalian harus ingat turunan dari fungsi rasional atau pembagian pecahan.
\[y=\frac{u}{v} 👉 y^{'} = \frac{u^{'}v-uv^{'}}{v^{2}}\]
Langkah 1 :
\(f(x)=\frac{4x-3}{5-2x}\)
Misalkan :
\(u=4x-3\)
\(v=5-2x\)
Langkah 2 :
Turunkan apa yang dimisalkan pada langkah 1.
\(u=4x-3\)
\(u^{'}=4\)
\(v=5-2x\)
\(v^{'}=-2\)
Langkah 3 :
\(y^{'} = \frac{u^{'}v-uv^{'}}{v^{2}}\)
\(y^{'} = \frac{4(5-2x)-(4x-3)-2}{(5-2x)^{2}}\)
\(y^{'} = \frac{20-8x-(-8x+6)}{(5-2x)^{2}}\)
\(y^{'} = \frac{20-8x+8x-6}{(5-2x)^{2}}\)
\(y^{'} = \frac{14}{(5-2x)^{2}}\)
\(f^{'}(x) = \frac{14}{(5-2x)^{2}}\)
Soal Nomor 20
Diketahui \(f^{'}(x)=\frac{3-2x^{2}}{2x+3}\). Jika \(f^{'}(x)\) adalah turunan pertama dari \(f(x)\), maka nilai \(f^{'}(0) \times f^{'}(1) = .....\)
Pembahasan
Langkah 1 :
\(u=3-2x^{2}\)
\(v=2x+3\)
Langkah 2 :
\(u=3-2x^{2}\)
\(u^{'}=-4x\)
\(v=2x+3\)
\(v^{'}=2\)
Langkah 3 :
\(y^{'} = \frac{u^{'}v-uv^{'}}{v^{2}}\)
\(y^{'} = \frac{-4x(2x+3)-(3-2x^{2}) 2}{(2x+3)^{2}}\)
\(y^{'} = \frac{-8x^{2}-12x-(6-4x^{2})}{(2x+3)^{2}}\)
\(y^{'} = \frac{-8x^{2}-12x-6+4x^{2}}{(2x+3)^{2}}\)
\(f^{'}(x) = \frac{-6-12x-4x^{2}}{(2x+3)^{2}}\)
Langkah 4 :
\(f^{'}(x) = \frac{-6-12x-4x^{2}}{(2x+3)^{2}}\)
\(f^{'}(-1) = \frac{-6-12(-1)-4(-1)^{2}}{(2(-1)+3)^{2}}\)
\(f^{'}(-1) = \frac{-6+12-4}{(-2+3)^{2}}\)
\(f^{'}(-1) = \frac{2}{(1)^{2}}\)
\(f^{'}(-1) = \frac{2}{1}= 2\)
\(f^{'}(x) = \frac{-6-12x-4x^{2}}{(2x+3)^{2}}\)
\(f^{'}(0) = \frac{-6-12(0)-4(0)^{2}}{(2(0)+3)^{2}}\)
\(f^{'}(0) = \frac{-6}{(3)^{2}}\)
\(f^{'}(0) = \frac{-6}{9}\)
Langkah 5 :
\(f^{'}(0) \times f^{'}(1) = \frac{-6}{9} \times 2 = \frac{-12}{9}\)
\(f^{'}(0) \times f^{'}(1) = \frac{-4}{3}\)
Baca Juga : Persamaan Logaritma
Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonometri dan Pembahasannya
Ada 20 contoh soal turunan fungsi trigonometri lengkap dengan pembahasannya, silahkan dipelajari sampai selesai.
Soal Nomor 1
Jika \(y=cos \frac{3}{x}\) maka \(\frac{dy}{dx}=\)
Pembahasan
\(y=cos \frac{3}{x}\)
\(y=cos \hspace{1mm} 3x^{-1}\)
\(y^{'}= -(-1\times3x^{-1-1})sin \frac{3}{x}\)
\(y^{'}= -(-3x^{-2})sin \frac{3}{x}\)
\(y^{'}= 3x^{-2}\hspace{1mm}sin \frac{3}{x}\)
\(y^{'}= \frac{3}{x^{2}} \hspace{1mm} sin \frac{3}{x}\)
Soal Nomor 2
Jika \(g(x) = 3\hspace{1mm}sin \hspace{1mm} x - cos\hspace{1mm}x\) maka \(g^{'}(x)=\)
Pembahasan
\(g(x) = 3\hspace{1mm}sin \hspace{1mm} x - cos\hspace{1mm}x\)
\(g^{'}(x) = 3\hspace{1mm}cos \hspace{1mm} x - (-sin)\hspace{1mm}x\)
\(g^{'}(x) = 3\hspace{1mm}cos \hspace{1mm} x +sin\hspace{1mm}x\)
Soal Nomor 3
Turunan pertama fungsi \(y = cos (2x^{3}-x^{2})\) adalah..
Pembahasan
\(y = cos (2x^{3}-x^{2})\)
\(y^{'} = - (3\times 2x^{3-1}-2\times x^{2-1}). sin (2x^{3}-x^{2})\)
\(y^{'} = - (6x^{2}-2x). sin (2x^{3}-x^{2})\)
Soal Nomor 4
Jika \(y=x^{2} \hspace{1mm}sin\hspace{1mm}3x\) maka \(\frac{dy}{dx}=\)
Pembahasan
Misalnya :
\(u=x^{2}\)
\(v=sin\hspace{1mm}3x\)
Langkah 1 :
\(u=x^{2}\)
\(u^{'}=2x\)
\(v=sin\hspace{1mm}3x\)
\(v^{'}=3\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}3x\)
Langkah 2 :
Ingat aturan turunan perkalian fungsi aljabar \(y^{'}=u^{'}v+uv^{'}\)
\(y^{'}=u^{'}v+uv^{'}\)
\(y^{'}= 2x.sin\hspace{1mm}3x+x^{2}.3\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}3x\)
\(y^{'}= 2x\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}3x+3x^{2}\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}3x\)
Soal Nomor 5
Jika \(f(x)=sin^{3}(5x+8)\), maka \(f^{'}(x)=\)
Pembahasan
Tips Pengerjaan :
👉 Turunkan \(sin^{3}\) menggunakan aturan rantai setelah itu turunkan \(sin(5x+8)\) menggunakan aturan turunan fungsi trigonometri dan ingat sudut tidak boleh dikalikan.
Soal Nomor 6
Turunan pertama dari \(y=x^{2}cos^{2}x\) adalah.....
Pembahasan
Tips Pengerjaan :
👉 Menggunakan aturan turunan perkalian fungsi aljabar dan aturan rantai.
Langkah 1 :
Misalkan :
\(u=x^{2}\)
\(v=cos^{2}x\)
Turunkan \(u\) dan \(v\)
\(u=x^{2}\)
\(u^{'}=2x\)
\(v=cos^{2}x\)
\(v^{'}=2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x.\hspace{1mm}1\times-sin\hspace{1mm}x\)
\(v^{'}=2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x.-sin\hspace{1mm}x\)
\(v^{'}=2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x-sin\hspace{1mm}x\)
Langkah 2 :
\(y^{'}=u^{'}v+uv^{'}\)
\(y^{'}=2x.cos^{2}x+x^{2}.2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x-sin\hspace{1mm}x\)
\(y^{'}=2x \hspace{1mm}cos^{2}x+2x^{2}\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x-sin\hspace{1mm}x\)
Soal Nomor 7
Turunan pertama dari \(y= 3 \hspace{1mm}sin \hspace{1mm}x-x\) sama dengan
Pembahasan
\(y= 3 \hspace{1mm}sin \hspace{1mm}x-x\)
\(y^{'}= 3 \hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x-1\)
Soal Nomor 8
Turunan dari \(f(x)=3x^{2}-\frac{1}{2x}+2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x\) sama dengan
Pembahasan
\(f(x)=3x^{2}-\frac{1}{2x}+2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x\)
\(f^(x)=3x^{2}-2x^{-1}+2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x\)
\(f^{'}(x)=2\times3x^{2-1}-(-1)2x^{-1-1}+2\hspace{1mm}.-sin\hspace{1mm}x\)
\(f^{'}(x)=6x^{1}+2x^{-2}-2\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}x\)
\(f^{'}(x)=6x+\frac{1}{2x^{2}}-2\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}x\)
Soal Nomor 9
Hasil deferensial dari \(T(x)=(sin\hspace{1mm}x+1)(sin\hspace{1mm}x-2)\) adalah
Pembahasan
Misalnya :
\(u=sin\hspace{1mm}x+1\)
\(v=sin\hspace{1mm}x-2\)
Langkah 1 :
Turunkan \(u\) dan \(v\)
\(u=sin\hspace{1mm}x+1\)
\(u^{'}=cos\hspace{1mm}x\)
\(v=sin\hspace{1mm}x-2\)
\(v^{'}=cos\hspace{1mm}x\)
Langkah 2 :
Soal Nomor 10
Jika \(h(\theta)=(\theta+\frac{\pi}{2}) \hspace{1mm}sin\hspace{1mm}\theta\) maka \(h^{'}(\theta)\) sama dengan.....
Pembahasan
Misalnya :
\(u=\theta+\frac{\pi}{2}\)
\(v= sin\hspace{1mm}\theta\)
Langkah 1 :
\(u=\theta+\frac{\pi}{2}\)
\(u^{'}= 1\)
\(v= sin\hspace{1mm}\theta\)
\(v^{'}= cos\hspace{1mm}\theta\)
Langkah 2 :
\(y^{'}=u^{'}v+uv^{'}\)
\(h^{'}(\theta)= 1. sin\hspace{1mm}\theta + (\theta+\frac{\pi}{2}) cos\hspace{1mm}\theta\)
\(h^{'}(\theta)= sin\hspace{1mm}\theta + \theta\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}\theta+\frac{\pi}{2} cos\hspace{1mm}\theta\)
Soal Nomor 11
Jika \(f(x)=(2+cos\hspace{1mm}x)sin\hspace{1mm}x\), maka \(f^{'}(\frac{\pi}{4})=\)
Pembahasan
Misalkan :
\(u= 2+cos\hspace{1mm}x\)
\(v=sin\hspace{1mm}x\)
Langkah 1 :
\(u= 2+cos\hspace{1mm}x\)
\(u^{'}= -sin\hspace{1mm}x\)
\(v=sin\hspace{1mm}x\)
\(v^{'}=cos\hspace{1mm}x\)
Langkah 2 :
\(y^{'}=u^{'}v+uv^{'}\)
\(y^{'}=-sin\hspace{1mm}x(sin\hspace{1mm}x)+(2+cos\hspace{1mm}x)cos\hspace{1mm}x\)
\(y^{'}=-sin^{2}\hspace{1mm}x+2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x+cos^{2}\hspace{1mm}x\)
\(y^{'}=-(1-cos^{2}x)+2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x+cos^{2}\hspace{1mm}x\)
\(y^{'}=-1+cos^{2}x+2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x+cos^{2}\hspace{1mm}x\)
\(y^{'}=2\hspace{1mm}cos^{2}x+2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x-1\)
\(y^{'}=2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x(1+cos\hspace{1mm}x)-1\)
Langkah 3 :
\(f^{'}(x)=2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x(1+cos\hspace{1mm}x)-1\)
\(f^{'}(\frac{\pi}{4})=2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}\frac{\pi}{4}(1+cos\hspace{1mm}\frac{\pi}{4})-1\)
\(f^{'}(\frac{\pi}{4})=2\hspace{1mm}\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\frac{\sqrt{2}}{2})-1\)
\(f^{'}(\frac{\pi}{4})= \sqrt{2}(1+\frac{\sqrt{2}}{2})-1\)
\(f^{'}(\frac{\pi}{4})= \sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{2}-1\)
\(f^{'}(\frac{\pi}{4})= \sqrt{2}+\frac{2}{2}-1\)
\(f^{'}(\frac{\pi}{4})= \sqrt{2}+1-1\)
\(f^{'}(\frac{\pi}{4})= \sqrt{2}\)
Soal Nomor 12
Jika \(g(x)=\frac{cos\hspace{1mm}x+2}{sin\hspace{1mm}x}\) dengan \(sin\hspace{1mm}x\neq0\), maka \( g^{'}(\frac{\pi}{2})=....\)
Pembahasan
Misalkan :
\(u=cos\hspace{1mm}x+2\)
\(v=sin\hspace{1mm}x\)
Langkah 1 :
\(u=cos\hspace{1mm}x+2\)
\(u^{'}=-sin\hspace{1mm}x\)
\(v=sin\hspace{1mm}x\)
\(v^{'}=cos\hspace{1mm}x\)
Langkah 2 :
\(y^{'}=\frac{u^{'}v-uv^{'}}{v^{2}}\)
\(y^{'}=\frac{-sin\hspace{1mm}x(sin\hspace{1mm}x)-(cos\hspace{1mm}x+2)cos\hspace{1mm}x}{sin^{2}\hspace{1mm}x}\)
\(y^{'}=\frac{-sin^{2}\hspace{1mm}x- cos^{2}\hspace{1mm}x-2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x}{sin^{2}\hspace{1mm}x}\)
\(y^{'}=\frac{-(sin^{2}\hspace{1mm}x+cos^{2}\hspace{1mm}x)-2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x}{sin^{2}\hspace{1mm}x}\)
\(y^{'}=\frac{-(1)-2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x}{sin^{2}\hspace{1mm}x}\)
\(y^{'}=\frac{-1-2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x}{sin^{2}\hspace{1mm}x}\)
\(g^{'}(\frac{\pi}{2})=\frac{-1-2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}\frac{\pi}{2}}{sin^{2}\hspace{1mm}\frac{\pi}{2}}\)
\(g^{'}(\frac{\pi}{2})=\frac{-1-2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}\frac{\pi}{2}}{sin^{2}\hspace{1mm}\frac{\pi}{2}}\)
\(g^{'}(\frac{\pi}{2})=\frac{-1-2\hspace{1mm}.0}{(1)^{2}}\)
\(g^{'}(\frac{\pi}{2})=\frac{-1-0}{1}\)
\(g^{'}(\frac{\pi}{2})=\frac{-1}{1}=-1\)
Soal Nomor 13
Turunan dari \(g(x)=sin^{2}\hspace{1mm}x+cos\hspace{1mm}3x\) adalah...
Pembahasan
\(g(x)=sin^{2}\hspace{1mm}x+cos\hspace{1mm}3x\)
\(g^{'}(x)=2\times\hspace{1mm}sin^{2-1}\hspace{1mm}x\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x+3\times\hspace{1mm}-sin\hspace{1mm}3x\)
\(g^{'}(x)=2\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}x\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x-3\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}3x\)
\(g^{'}(x)=sin\hspace{1mm}2x-3\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}3x\)
Soal Nomor 14
Turunan dari \(y=tan(2\alpha-3)\) adalah....
Pembahasan
\(y=tan(2\alpha-3)\)
\(y^{'}=1\times2\alpha^{1-1}-0\times3\alpha^{0-1}\hspace{1mm}sec^{2}(2\alpha-3)\)
\(y^{'}=1\times2\alpha^{0}-0\times3\alpha^{-1}\hspace{1mm}sec^{2}(2\alpha-3)\)
\(y^{'}=2(1)-0\hspace{1mm}sec^{2}(2\alpha-3)\)
\(y^{'}=2\hspace{1mm}sec^{2}(2\alpha-3)\)
Soal Nomor 15
\(f(x)=x^{2}\hspace{1mm}cot\hspace{1mm}x\), maka \(f^{'}(\frac{\pi}{4})\) sama dengan....
Pembahasan
Misalnya :
\(u=x^{2}\)
\(v=cot\hspace{1mm}x\)
Langkah 1 :
\(u=x^{2}\)
\(u^{'}=2x\)
\(v=cot\hspace{1mm}x\)
\(v^{'}=-csc^{2}\hspace{1mm}x\)
Langkah 2 :
\(y^{'}=u^{'}v+uv^{'}\)
\(y^{'}=2x.cot\hspace{1mm}x+x^{2}(-csc^{2}\hspace{1mm}x)\)
\(y^{'}=2x.cot\hspace{1mm}x-x^{2}\hspace{2mm}csc^{2}\hspace{1mm}x\)
Langkah 3 :
\(f^{'}(\frac{\pi}{4})=2(\frac{\pi}{4}).cot\hspace{1mm}(\frac{\pi}{4})-(\frac{\pi}{4})^{2}\hspace{2mm}csc^{2}\hspace{1mm}(\frac{\pi}{4})\)
\(f^{'}(\frac{\pi}{4})=(\frac{\pi}{2})(1)-(\frac{\pi}{4})^{2}(2)\)
\(f^{'}(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^{2}}{16}(2)\)
\(f^{'}(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^{2}}{8}\)
\(f^{'}(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{8}\pi(4-\pi)\)
Soal Nomor 16
\(\frac{d}{dx}(3\hspace{1mm}cos \hspace{1mm} 2x + tan \hspace{1mm} 4x)=\)
Pembahasan
\(\frac{d}{dx}=3\hspace{1mm}cos \hspace{1mm} 2x + tan \hspace{1mm} 4x\)
\(\frac{d}{dx}=2\times 3\hspace{1mm}-sin\hspace{1mm} 2x +4\times sec^{2} \hspace{1mm} 4x\)
\(\frac{d}{dx}=-6\hspace{1mm}sin\hspace{1mm} 2x + 4\hspace{1mm}sec^{2} \hspace{1mm} 4x\)
Soal Nomor 17
Turunan dari \(g(x)=cos^{3}\hspace{1mm}x\) adalah...
Pembahasan
\(g(x)=cos^{3}\hspace{1mm}x\)
\(g^{'}(x)=3\times cos^{3-1}\hspace{1mm}x.1.x^{1-1}.-sin\hspace{1mm}x\)
\(g^{'}(x)=3\hspace{1mm}cos^{2}\hspace{1mm}x.1.x^{0}.-sin\hspace{1mm}x\)
\(g^{'}(x)=3\hspace{1mm}cos^{2}\hspace{1mm}x.1.1.-sin\hspace{1mm}x\)
\(g^{'}(x)=3\hspace{1mm}cos^{2}\hspace{1mm}x.-sin\hspace{1mm}x\)
\(g^{'}(x)=-3\hspace{1mm}cos^{2}\hspace{1mm}x.sin\hspace{1mm}x\)
Soal Nomor 18
Turunan dari \(h(x)=x^{2}\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}x\) adalah...
Pembahasan
Misalnya :
\(u=x^{2}\)
\(v=sin\hspace{1mm}x\)
Langkah 1 :
\(u=x^{2}\)
\(u^{'}=2x\)
\(v=sin\hspace{1mm}x\)
\(v^{'}=cos\hspace{1mm}x\)
Langkah 2 :
\(y^{'}= u^{'}v+uv^{'}\)
\(y^{'}= 2x.sin\hspace{1mm}x+x^{2}.cos\hspace{1mm}x\)
\(h^{'}(x)= 2x\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}x+x^{2}\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x\)
Soal Nomor 19
Jika \(f(x)=sin\hspace{1mm}ax+cos\hspace{1mm}bx\) memenuhi \(f^{'}(0)=b\) dan \(f^{'}(\frac{\pi}{2a})=-1\), maka \(a+b=...\)
Pembahasan
Langkah 1 :
\(f(x)=sin\hspace{1mm}ax+cos\hspace{1mm}bx\)
\(f^{'}(x)=a\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}ax+b\hspace{1mm}-sin\hspace{1mm}bx\)
\(f^{'}(x)=a\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}ax-b\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}bx\)
Langkah 2 :
\(f^{'}(0)=a\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}a(0)-b\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}b(0)\)
\(f^{'}(0)=a\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}0-b\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}0\)
\(f^{'}(0)=a\hspace{1mm}(1)-b\hspace{1mm}(0)\)
\(b=a\)
Ganti \(a\) dengan \(b\) karena \(a=b\)
\(f^{'}(\frac{\pi}{2a})=a\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}a(\frac{\pi}{2a})-b\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}b(\frac{\pi}{2a})\)
\(f^{'}(\frac{\pi}{2a})=a\hspace{1mm}(0)-a\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}a(\frac{\pi}{2a})\)
\(f^{'}(\frac{\pi}{2a})= 0-a\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}(\frac{\pi}{2})\)
\(-1= 0-a(1)\)
\(-1= -a \Rightarrow a=1\)
Jadi \(a+b=1+1=2\)
Soal Nomor 20
\(\frac{d}{dx}(x^{2}\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}2x)=...\)
Pembahasan
Misalnya :
\(u=x^{2}\)
\(v=cos\hspace{1mm}2x\)
Langkah 1 :
\(u=x^{2}\)
\(u^{'}=2x\)
\(v=cos\hspace{1mm}2x\)
\(v^{'}=-2\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}2x\)
Langkah 2 :
\(y^{'}=u^{'}v+uv^{'}\)
\(y^{'}=2x.cos\hspace{1mm}2x+x^{2}.-2sin\hspace{1mm}2x\)
\(\frac{d}{dx}=2x\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}2x-2x^{2}\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}2x\)
Contoh Soal Turunan Parsial dan Pembahasannya
Soal Nomor 1
\(f(x,y)=x^{2}-y^{2}\)
Pembahasan
\(f(x,y)=x^{2}-y^{2}\)
\(f_x(x,y)=2x\)
\(f(x,y)=x^{2}-y^{2}\)
\(f_y(x,y)=-2y\)
Soal Nomor 2
\(f(x,y)=x^{3}+x^{2}y^{2}-2y^{2}\)
Pembahasan
\(f(x,y)=x^{3}+x^{2}y^{2}-2y^{2}\)
\(f_x(x,y)=3x^{2}+2xy^{2}\)
\(f(x,y)=x^{3}+x^{2}y^{2}-2y^{2}\)
\(f_y(x,y)=x^{2}2y-4y\)
Soal Nomor 3
\(f(x,y)=x^{2}y^{4}+x^{3}y^{2}\)
Pembahasan
\(f(x,y)=x^{2}y^{4}+x^{3}y^{2}\)
\(f_x(x,y)=2xy^{4}+3x^{2}y^{2}\)
\(f(x,y)=x^{2}y^{4}+x^{3}y^{2}\)
\(f_y(x,y)=x^{2}4y^{3}+x^{3}2y\)
Soal Nomor 4
\(f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\)
Pembahasan
\(f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\)
\(f_x(x,y)=\frac{1}{2x}\)
\(f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\)
\(f_y(x,y)=\frac{1}{2y}\)
Penutup
Sekian mengenai pembahasan contoh soal turunan, jika bermanfaat silahkan dishare ke teman-temannya. Apabila ada yang kurang dimengerti atau kesalahan penulisan silahkan ditanyakan karena artikel yang saya publikasikan akan dipertanggungjawabkan kebenarannya. Terimakasih.
