Contoh Soal Turunan Lengkap dengan Pembahasannya

alvininfo.com - Pada kesempatan kali ini saya akan membahas contoh soal turunan fungsi aljabar, fungsi trigonometri dan parsial tanpa menjelaskan terlebih dahulu konsepnya. Mungkin jika kalian belum mengerti mengenai konsep materi dari contoh soal turunan yang saya buat pada artikel ini. Nanti akan saya buatkan simpel konsep dari setiap materi turunan pada artikel terpisah. 


Saya akan membahas berbagai bentuk contoh soal turunan dari setiap materi turunan fungsi aljabar, fungsi trigonometri dan parsial. Tujuannya agar kalian semakin matang dalam menguasai konsep turunan sehingga bisa mengerjakan soal turunan dalam bentuk apapun. 

Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar dan Pembahasannya


Ada 20 contoh soal turunan fungsi aljabar lengkap dengan pembahasannya, silahkan pelajari sampai selesai.

Soal Nomor 1


Turunan \(f(x)=3x^{2}+5x-6\) adalah...

Pembahasan

Ingat aturan turunan pertama fungsi aljabar bentuk di bawah ini :
\[f^{'}(x)=nax^{n-1}\]

\(f(x)=3x^{2}+5x-6\)
\(f^{'}(x)=2\times 3x^{2-1}+1\times 5x^{1-1}-0\times 6x^{0-1}\)
\(f^{'}(x)=2\times 3x^{1}+1\times 5x^{0}-0\times6x^{-1}\)
\(f^{'}(x)= 6x^{1}+ 5x^{0}- 0 \)
\(f^{'}(x)= 6x+ 5(1) \)
\(f^{'}(x)= 6x+ 5 \)

Jadi turunan dari \(f(x)=3x^{2}+5x-6\) adalah \(f^{'}(x)= 6x+ 5 \)


Soal Nomor 2


Turunan pertama dari \(f(x)=8+2x^{2}-x^{4}\) adalah....

Pembahasan

Karena bentuknya masih sama, gunakan saja aturan turunan yang dipakai untuk menjawab soal nomor 1.

\(f(x)=8+2x^{2}-x^{4}\)
\(f^{'}(x)=0 \times 8x^{0-1} + 2 \times 2x^{2-1}- 4 \times x^{4-1}\)
\(f^{'}(x)=0\times 8x^{-1}+2 \times 2x^{1}- 4 \times x^{3}\)
\(f^{'}(x)= 0+ 4x^{1}- 4x^{3}\)
\(f^{'}(x)=  4x- 4x^{3}\)

Jadi turunan dari \(f(x)=8+2x^{2}-x^{4}\) adalah \(f^{'}(x)= - 4x^{3}  + 4x\)


Soal Nomor 3


Jika \(f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{2}\), maka \(f^{'}(x) = ....\)

Pembahasan

Dapat dilihat oleh kalian bentuknya masih sama seperti nomor 1 dan 2 yaitu bentuk persamaan polinomial hanya saja nomer 3 ini koefisiennya adalah bilangan rasional. Untuk cara pengerjaannya masih sama saja.

\(f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{2}\)
\(f^{'}(x)= 3 \times \frac{2}{3}x^{3-1}- 2 \times \frac{1}{4}x^{2-1}\)
\(f^{'}(x)= 3 \times \frac{2}{3}x^{2}- 2 \times \frac{1}{4}x^{1}\)
\(f^{'}(x)= 2x^{2}- \frac{1}{2}x^{1}\)
\(f^{'}(x)= 2x^{2}- \frac{1}{2}x\)

Jadi turunan dari \(f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{2}\) adalah \(f^{'}(x)= 2x^{2}- \frac{1}{2}x\)


Soal Nomor 4


Turunan pertama fungsi \(f(x)=\frac{5}{x^{2}}\) adalah \(f^{'}(x)=..\)

Pembahasan

Ingat !

\(\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}\)

\(f(x)=\frac{5}{x^{2}}\)
\(f(x)= 5x^{-2}\)
\(f^{'}(x)= -2 \times 5x^{-2-1}\)
\(f^{'}(x)= -2 \times 5x^{-3}\)
\(f^{'}(x)= -10x^{-3}\) atau \(f^{'}(x)=\frac{-10}{x^{3}}\)


Soal Nomor 5


Diketahui \(y=(x^{2}+1)(x^{3}-1)\), maka \(y^{'}\) adalah......

Pembahasan

Karena soal nomer 5 bentuk turunan fungsi aljabarnya berupa perkalian maka aturan untuk menurunkannya tentu beda lagi. Adapun untuk aturan turunan fungsi aljabar berupa perkalian yaitu :
\[y=uv \Rightarrow y^{'}=u^{'}v+uv{'}\]

Langkah 1 :

Misalnya :

👉 \((x^{2}+1)=u\)
👉 \((x^{3}-1)=v\)

Langkah 2 :

Turunkan bentuk yang sudah dimisalkan pada langkah 1.

\(u=x^{2}+1\)
\(u=x^{2}+1x^{0}\)
\(u^{'}= 2 \times x^{2-1}+ 0 \times 1x^{0-1}\)
\(u^{'}= 2 \times x^{1}+ 0 \times 1x^{-1}\)
\(u^{'}= 2x\)

\(v = x^{3}-1\)
\(v = x^{3}-1x^{0}\)
\(v^{'} = 3 \times x^{3-1}- 0 \times 1x^{0-1}\)
\(v^{'} = 3 \times x^{2}- 0 \times 1x^{-1}\)
\(v^{'} = 3x^{2}\)

Langkah 3 :

Karena yang dibutuhkan untuk menurunkan fungsi aljabar soal nomor 5 sudah tersedia semua. Jadi selanjutnya tinggal subtitusikan saja ke aturan turunan fungsi aljabar bentuk perkalian \(y^{'}=u^{'}v+uv{'}\).

\(y^{'}=u^{'}v+uv{'}\)
\(y^{'}= 2x(x^{3}-1)+ (x^{2}+1)3x^{2}\)
\(y^{'}= 2x^{4}-2x+3x^{4}+3x^{2}\)
\(y^{'}= 5x^{4}+3x^{2}-2x\)

Jadi didapatkan \(y^{'}= 5x^{4}+3x^{2}-2x\)


Soal Nomor 6


Jika \(g(x)=5x^{2}+4px-3\) dan \(g^{'}(x)=4\) maka nilai dari \(g^{'}(1)\) adalah...

Pembahasan

Langkah 1 :

Turunkan fungsi aljabar \(g(x)=5x^{2}+4px-3\)

\(g(x)=5x^{2}+4px-3\)
\(g^{'}(x)= 2 \times 5x^{2-1}+1 \times 4px^{1-1}- 0 \times 3x^{0-1}\)
\(g^{'}(x)= 2 \times 5x^{1}+1 \times 4px^{0}- 0 \times 3x^{-1}\)
\(g^{'}(x)= 10x^{1}+4px^{0}\)
\(g^{'}(x)= 10x+4p\)

Langkah 2 :

\(g^{'}(x)=4\)

\(g^{'}(x)= 10x+4p\)
\(4 = 10x+4p\)
\(4-10x= 4p\)

Diperoleh \(4-10x= 4p\)

Langkah 3 :
Substitusikan \(4-10x= 4p\) ke \(g^{'}(x)= 10x+4p\) untuk mencari \(g^{'}(1)\)

\(g^{'}(x)= 10x+4p\)
\(g^{'}(x)= 10x+4-10x\)
\(g^{'}(1)= 10(1)+4-10(1)\)
\(g^{'}(1)= 10+4-10\)
\(g^{'}(1)= 4\)


Soal Nomor 7


Diketahui \(f(x)=x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\) maka fungsi \(f^{'}(x)\) adalah....

Pembahasan

\(f(x)=x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)

\(f(x)=x\times x^{{\frac{1}{2}}}+x^{\frac{-1}{2}}\)

\(f(x)=x^{1+\frac{1}{2}}+x^{\frac{-1}{2}}\)

\(f(x)=x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{-1}{2}}\)

\(f^{'}(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}+( \frac{-1}{2})x^{\frac{-1}{2}-1}\)

\(f^{'}(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{\frac{-3}{2}}\)

\(f^{'}(x)= \frac{3x^{2}-1}{2x\sqrt{x}}\)


Soal Nomor 8


Turunan \(g(x) = \frac{3}{x^{2}}-\frac{x}{2}+\sqrt{x}\) adalah.....

Pembahasan

\(g(x) = \frac{3}{x^{2}}-\frac{x}{2}+\sqrt{x}\)

\(g(x) = 3x^{-2}-\frac{1}{2}x+ x^{\frac{1}{2}}\)

\(g^{'}(x) = -2 \times 3x^{-2-1}- 1 \times \frac{1}{2}x^{1-1}+ \frac{1}{2} \times x^{\frac{1}{2}-1}\)

\(g^{'}(x) = -2 \times 3x^{-3}- 1 \times \frac{1}{2}x^{0}+ \frac{1}{2} \times x^{\frac{-1}{2}}\)

\(g^{'}(x) = -6x^{-3}- \frac{1}{2}x^{0}+ \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}\)

\(g^{'}(x) = -6x^{-3}- \frac{1}{2}(1)+ \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}\)

\(g^{'}(x) = -6x^{-3}- \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}}\)

\(g^{'}(x) = \frac{-6}{x^{3}}+ \frac{1}{2\sqrt {x}}- \frac{1}{2}\)


Soal Nomor 9


Turunan \(f(x) = 2x + \frac {1}{2x}\) pada \(x=1\)  adalah....

Pembahasan

\(f(x) = 2x + \frac {1}{2x}\)

\(f(x) = 2x + \frac {1}{2}x^{-1}\)

\(f(x) = 2x + \frac {1}{2}x^{-1}\)

\(f^{'}(x) = 1 \times 2x^{1-1} + (-1) \times \frac{1}{2}x^{-1-1}\)

\(f^{'}(x) = 1 \times 2x^{0} + (-1) \times \frac{1}{2}x^{-2}\)

\(f^{'}(x) = 1 \times 2(1) - 1 \times \frac{1}{2}x^{-2}\)

\(f^{'}(x) =  2 - \frac{1}{2}x^{-2}\)

\(f^{'}(x) =  2 - \frac{x^{-2}}{2}\)

\(f^{'}(x) =  2 - \frac{1}{2x^{2}}\)

\(f^{'}(1) =  2 - \frac{1}{2(1)^{2}}\)

\(f^{'}(1) =  2 - \frac{1}{2(1)}\)

\(f^{'}(1) = \frac{4-1}{2}= \frac{3}{2}\)


Soal Nomor 10


Jika \(f(x)=px^{3}-8x^{2}+3\) dan \(f^{'}(2)=16\) , maka nilai \(f(1)-4f^{'}(1)+2p=....\)

Pembahasan

Langkah 1 :

\(f(x)=px^{3}-8x^{2}+3\)
\(f^{'}(x)=3\times px^{3-1}- 2 \times 8x^{2-1}+3\)
\(f^{'}(x)=3\times px^{2}- 2 \times 8x^{1}\)
\(f^{'}(x)=3px^{2}- 16x\)

Langkah 2 :

Mencari nilai \(f^{'}(1)\)

\(f^{'}(1)=3p(1)^{2}- 16(1)\)
\(f^{'}(1)=3p- 16\)

Mencari nilai \(f(1)\)

\(f(x)=px^{3}-8x^{2}+3\)
\(f(1)=p(1)^{3}-8(1)^{2}+3\)
\(f(1)=p(1)-8(1)+3\)
\(f(1)=p-8+3\)
\(f(1)=p-5\)

Mencari nilai \(p\)

\(f^{'}(x)=3px^{2}- 16x\)
\(f^{'}(2)=3p(2)^{2}- 16(2)\)
\(f^{'}(2)=3p(4)- 32\)
\(f^{'}(2)=12p- 32\)
\(16=12p- 32\)
\(16+32=12p\)
\(48=12p\)
\(p=4\)

Langkah 3 :

Mencari nilai \(f(1)-4f^{'}(1)+2p=....\)

\(f(1)-4f^{'}(1)+2p=....\)
\(p-5-4(3p- 16)+2p=....\)
\(p-5-12p+64+2p=....\)
\(4-5-12(4)+64+2(4)=....\)
\(4-5-48+64+8=....\)
\(-1+16+8= 23\)

Jadi nilai \(f(1)-4f^{'}(1)+2p= 23\)


Soal Nomor 11


Turunan \(f(x)=(2x-1)(x+1)\) adalah....

Pembahasan

Misalnya :
\(u=2x-1\)
\(v=x+1\)

Langkah 1 :

Turunkan \(u\) dan \(v\)

\(u=2x-1\)
\(u^{'}=2\)

\(v=x+1\)
\(v^{'}=1\)

Langkah 2 :

\(y^{'}= u^{'}v + u v^{'}\)
\(f(x)^{'}= 2(x+1)+ (2x-1)1\)
\(f(x)^{'}= 2x+2+ 2x-1\)
\(f(x)^{'}= 4x+1\)


Soal Nomor 12


Jika \(y=\frac{2}{3}(3x+1)(x-2)\) maka \(\frac{dy}{dx}= .....\)

Pembahasan

\(y=\frac{2}{3}(3x+1)(x-2)\)

\(y=\frac{2}{3}(3x^{2}-5x-2)\)

\(y=2x^{2}-\frac{10}{3}x-\frac{4}{3}\)

\(\frac{dy}{dx}= 2 \times 2x^{2-1}- 1\times \frac{10}{3}x^{1-1}-\frac{4}{3}\)

\(\frac{dy}{dx}= 2 \times 2x^{1}- 1\times \frac{10}{3}x^{0}\)

\(\frac{dy}{dx}= 2 \times 2x - 1\times \frac{10}{3}(1)\)

\(\frac{dy}{dx}= 4x - \frac{10}{3}\)


Soal Nomor 13


Jika \(y=(3x^{2}-2)(2x+3)\), maka \(y^{'}=...\)

Pembahasan

Misalnya :

\(u=3x^{2}-2\)
\(v=2x+3\)

Langkah 1 :

\(u=3x^{2}-2\)
\(u^{'}= 2 \times 3x^{2-1}-2\)
\(u^{'}= 2 \times 3x^{1}\)
\(u^{'}= 2 \times 3x\)
\(u^{'}= 6x\)

\(v=2x+3\)
\(v^{'}=2\)

Langkah 2 :

\(y^{'}= u^{'}v + u v^{'}\)
\(y^{'}= 6x (2x+3) + (3x^{2}-2) 2 \)
\(y^{'}= 12x^{2}+18x+ 6x^{2}-4 \)
\(y^{'}= 18x^{2}+18x-4 \)


Soal Nomor 14


Turunan dari \(y=(x-1)(x^{2}+x+1)\) adalah....

Pembahasan

Misalkan :

\(u=x-1\)
\(v=x^{2}+x+1\)

Langkah 1 :

\(u=x-1\)
\(u^{'}=1\)

\(v=x^{2}+x+1\)
\(v^{'}=2x+1\)

Langkah 2 :

\(y^{'}= u^{'}v + u v^{'}\)
\(y^{'}= 1 (x^{2}+x+1) + (x-1)(2x+1)\)
\(y^{'}= x^{2}+x+1+2x^{2}+x-2x-1\)
\(y^{'}= 3x^{2}\)


Soal Nomor 15


Diketahui \(f(x)=(2x^{3}-4)^{2}\). Fungsi \(f^{'}(x)=.....\)

Pembahasan

Untuk menjawab soal turunan bentuk seperti ini, kita akan gunakan aturan rantai :
\[y^{'}=f^{'}(u(x)).u^{'}(x)\]

\(f(x)=(2x^{3}-4)^{2}\)
\(f^{'}(x)=2(2x^{3}-4)^{2-1}(2x^{3}-4)\)
\(f^{'}(x)=2(2x^{3}-4)^{2-1}(3\times2x^{3-1}-4)\)
\(f^{'}(x)=2(2x^{3}-4)^{2-1}(6x^{2})\)
\(f^{'}(x)=2(2x^{3}-4)(6x^{2})\)
\(f^{'}(x)=12x^{2}(2x^{3}-4)\)


Soal Nomor 16


Turunan pertama dari \(f(x)=(3x^{2}-7)^{4}\) adalah \(f^{'}(x)=...\)

Pembahasan

\(f(x)=(3x^{2}-7)^{4}\)
\(f^{'}(x)= 4 (3x^{2}-7)^{4-1}(2\times 3x^{2-1}-7)\)
\(f^{'}(x)= 4 (3x^{2}-7)^{3}(2 \times 3x)\)
\(f^{'}(x)= 4 (3x^{2}-7)^{3}(6x)\)
\(f^{'}(x)= 24x (3x^{2}-7)^{3}\)


Soal Nomor 17


Turunan dari \(y=\sqrt[3]{4x-1}\) adalah...

Pembahasan

\(y=\sqrt[3]{4x-1}\)

\(y = (4x-1)^{\frac{1}{3}}\)

\(y^{'} = \frac{1}{3} \times (4x-1)^{\frac{1}{3}-1}(1\times 4x^{1-1}-1)\)

\(y^{'} = \frac{1}{3} \times (4x-1)^{\frac{-2}{3}}(1\times 4x^{0})\)

\(y^{'} = \frac{1}{3} \times (4x-1)^{\frac{-2}{3}}(4)\)

\(y^{'} = \frac{4}{3 \sqrt [3]{(4x-1)^{2}}} \)


Soal Nomor 18


Jika \(f(x)=(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+1}\), maka \(f^{'}(x)=...\)

Pembahasan

\(f(x)=(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+1}\)
\(f(x)=(x+1) (x^{2}-2x+1)^{\frac{1}{2}}\)
\(f(x)=(x+1) (x^{2}-2x+1)^{\frac{1}{2}}\)

Untuk menjawab soal ini gunakan aturan pertama turunan dan aturan rantai.

Misalnya :

👉 \(x+1=u\)
👉\((x^{2}-2x+1)^{\frac{1}{2}}=v\)

Langkah 1 :

\(u=x+1\)
\(u^{'}=1\)

Untuk menurunkan bentuk \(v\) kalian harus menurunkannya dengan aturan rantai :

\(v=(x^{2}-2x+1)^{\frac{1}{2}}\)
\(v^{'}=\frac{1}{2}(x^{2}-2x+1)^{\frac{1}{2}-1}(2\times x^{2-1}\\ -1\times 2x^{1-1}+ 0 \times 1x^{0-1})\)

\(v^{'}=\frac{1}{2}(x^{2}-2x+1)^{\frac{-1}{2}}(2x^{1}-2x^{0})\)
\(v^{'}=\frac{1}{2}(x^{2}-2x+1)^{\frac{-1}{2}}(2x-2)\)
\(v^{'}=(x^{2}-2x+1)^{\frac{-1}{2}}(x-1)\)
\(v^{'}=\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}\)

Langkah 2 :

\(y^{'}= u^{'}v + u v^{'}\)

\(y^{'}= (1)\sqrt{x^{2}-2x+1} + (x+1)\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+1}} \)

\(y^{'}= \sqrt{x^{2}-2x+1} + \frac{x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-2x+1}} \)

\(y^{'}= \frac{x^{2}-1 + x^{2}-2x+1}{\sqrt{x^{2}-2x+1}} \)

\(y^{'}= \frac{2x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}-2x+1}} \)

\(y^{'}= \frac{2x(x-1)}{ (x^{2}-2x+1)^{\frac{1}{2}}} \)

\(y^{'}= \frac{2x(x-1)}{ ((x-1)^{2})^{\frac{1}{2}}} \)

\(y^{'}= \frac{2x(x-1)}{x-1} \)

\(y^{'}= 2x \)


Soal Nomor 19


Turunan pertama dari fungsi yang dinyatakan dengan \(f(x)=\frac{4x-3}{5-2x}\) adalah \(f^{'}(x)=...\)

Pembahasan

Kalian harus ingat turunan dari fungsi rasional atau pembagian pecahan.
\[y=\frac{u}{v} 👉 y^{'} = \frac{u^{'}v-uv^{'}}{v^{2}}\]

Langkah 1 : 

\(f(x)=\frac{4x-3}{5-2x}\)

Misalkan :

\(u=4x-3\)
\(v=5-2x\)

Langkah 2 :

Turunkan apa yang dimisalkan pada langkah 1.

\(u=4x-3\)
\(u^{'}=4\)

\(v=5-2x\)
\(v^{'}=-2\)

Langkah 3 :

\(y^{'} = \frac{u^{'}v-uv^{'}}{v^{2}}\)

\(y^{'} = \frac{4(5-2x)-(4x-3)-2}{(5-2x)^{2}}\)

\(y^{'} = \frac{20-8x-(-8x+6)}{(5-2x)^{2}}\)

\(y^{'} = \frac{20-8x+8x-6}{(5-2x)^{2}}\)

\(y^{'} = \frac{14}{(5-2x)^{2}}\)

\(f^{'}(x) = \frac{14}{(5-2x)^{2}}\)


Soal Nomor 20


Diketahui \(f^{'}(x)=\frac{3-2x^{2}}{2x+3}\). Jika \(f^{'}(x)\) adalah turunan pertama dari \(f(x)\), maka nilai \(f^{'}(0) \times  f^{'}(1) = .....\)

Pembahasan

Langkah 1 :

\(u=3-2x^{2}\)
\(v=2x+3\)

Langkah 2 :

\(u=3-2x^{2}\)
\(u^{'}=-4x\)

\(v=2x+3\)
\(v^{'}=2\)

Langkah 3 :

\(y^{'} = \frac{u^{'}v-uv^{'}}{v^{2}}\)

\(y^{'} = \frac{-4x(2x+3)-(3-2x^{2}) 2}{(2x+3)^{2}}\)

\(y^{'} = \frac{-8x^{2}-12x-(6-4x^{2})}{(2x+3)^{2}}\)

\(y^{'} = \frac{-8x^{2}-12x-6+4x^{2}}{(2x+3)^{2}}\)

\(f^{'}(x) = \frac{-6-12x-4x^{2}}{(2x+3)^{2}}\)

Langkah 4 :

\(f^{'}(x) = \frac{-6-12x-4x^{2}}{(2x+3)^{2}}\)

\(f^{'}(-1) = \frac{-6-12(-1)-4(-1)^{2}}{(2(-1)+3)^{2}}\)

\(f^{'}(-1) = \frac{-6+12-4}{(-2+3)^{2}}\)

\(f^{'}(-1) = \frac{2}{(1)^{2}}\)

\(f^{'}(-1) = \frac{2}{1}= 2\)

\(f^{'}(x) = \frac{-6-12x-4x^{2}}{(2x+3)^{2}}\)

\(f^{'}(0) = \frac{-6-12(0)-4(0)^{2}}{(2(0)+3)^{2}}\)

\(f^{'}(0) = \frac{-6}{(3)^{2}}\)

\(f^{'}(0) = \frac{-6}{9}\)

Langkah 5 :

\(f^{'}(0) \times f^{'}(1) =   \frac{-6}{9} \times 2 = \frac{-12}{9}\)

\(f^{'}(0) \times f^{'}(1) =  \frac{-4}{3}\)




Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonometri dan Pembahasannya


Ada 20 contoh soal turunan fungsi trigonometri lengkap dengan pembahasannya, silahkan dipelajari sampai selesai.

Soal Nomor 1


Jika \(y=cos \frac{3}{x}\) maka \(\frac{dy}{dx}=\)

Pembahasan

\(y=cos \frac{3}{x}\)

\(y=cos \hspace{1mm} 3x^{-1}\)

\(y^{'}= -(-1\times3x^{-1-1})sin \frac{3}{x}\)

\(y^{'}= -(-3x^{-2})sin  \frac{3}{x}\)

\(y^{'}= 3x^{-2}\hspace{1mm}sin  \frac{3}{x}\)

\(y^{'}= \frac{3}{x^{2}} \hspace{1mm} sin  \frac{3}{x}\)


Soal Nomor 2


Jika \(g(x) = 3\hspace{1mm}sin \hspace{1mm} x - cos\hspace{1mm}x\) maka \(g^{'}(x)=\)

Pembahasan

\(g(x) = 3\hspace{1mm}sin \hspace{1mm} x - cos\hspace{1mm}x\)
\(g^{'}(x) = 3\hspace{1mm}cos \hspace{1mm} x - (-sin)\hspace{1mm}x\)
\(g^{'}(x) = 3\hspace{1mm}cos \hspace{1mm} x +sin\hspace{1mm}x\)


Soal Nomor 3


Turunan pertama fungsi \(y = cos (2x^{3}-x^{2})\) adalah..

Pembahasan

\(y = cos (2x^{3}-x^{2})\)
\(y^{'} = - (3\times 2x^{3-1}-2\times x^{2-1}). sin (2x^{3}-x^{2})\)
\(y^{'} = - (6x^{2}-2x). sin (2x^{3}-x^{2})\)


Soal Nomor 4


Jika \(y=x^{2} \hspace{1mm}sin\hspace{1mm}3x\) maka \(\frac{dy}{dx}=\)

Pembahasan

Misalnya :

\(u=x^{2}\)
\(v=sin\hspace{1mm}3x\)

Langkah 1 :

\(u=x^{2}\)
\(u^{'}=2x\)

\(v=sin\hspace{1mm}3x\)
\(v^{'}=3\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}3x\)

Langkah 2 :

Ingat aturan turunan perkalian fungsi aljabar \(y^{'}=u^{'}v+uv^{'}\)

\(y^{'}=u^{'}v+uv^{'}\)
\(y^{'}= 2x.sin\hspace{1mm}3x+x^{2}.3\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}3x\)
\(y^{'}= 2x\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}3x+3x^{2}\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}3x\)


Soal Nomor 5


Jika \(f(x)=sin^{3}(5x+8)\), maka \(f^{'}(x)=\)

Pembahasan

Tips Pengerjaan :

👉 Turunkan \(sin^{3}\) menggunakan aturan rantai setelah itu turunkan \(sin(5x+8)\) menggunakan aturan turunan fungsi trigonometri dan ingat sudut tidak boleh dikalikan.

\(f(x)=sin^{3}(5x+8)\)

\(f^{'}(x)=3\times\hspace{1mm}sin^{3-1}(5x+8)\)

\(f^{'}(x)=3\times\hspace{1mm}sin^{2}(5x+8). (1\times5x^{1-1}+0\times8x^{0-1})\hspace{1mm}cos(5x+8)\)

\(f^{'}(x)=3\times\hspace{1mm}sin^{2}(5x+8). (1\times5x^{0}+0 \times 8x^{-1})\hspace{1mm}cos(5x+8)\)

\(f^{'}(x)=3\times\hspace{1mm}sin^{2}(5x+8). (1\times5(1)+0)\hspace{1mm}cos(5x+8)\)

\(f^{'}(x)=(3)\hspace{1mm}sin^{2}(5x+8). (5)\hspace{1mm}cos(5x+8)\)

\(f^{'}(x)= 15\hspace{1mm}sin^{2}(5x+8)\hspace{1mm}cos(5x+8)\)


Soal Nomor 6


Turunan pertama dari \(y=x^{2}cos^{2}x\) adalah.....

Pembahasan

Tips Pengerjaan :

👉 Menggunakan aturan turunan perkalian fungsi aljabar dan aturan rantai.

Langkah 1 :

Misalkan :

\(u=x^{2}\)
\(v=cos^{2}x\)

Turunkan \(u\) dan \(v\)

\(u=x^{2}\)
\(u^{'}=2x\)

\(v=cos^{2}x\)
\(v^{'}=2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x.\hspace{1mm}1\times-sin\hspace{1mm}x\)
\(v^{'}=2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x.-sin\hspace{1mm}x\)
\(v^{'}=2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x-sin\hspace{1mm}x\)

Langkah 2 :

\(y^{'}=u^{'}v+uv^{'}\)
\(y^{'}=2x.cos^{2}x+x^{2}.2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x-sin\hspace{1mm}x\)
\(y^{'}=2x \hspace{1mm}cos^{2}x+2x^{2}\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x-sin\hspace{1mm}x\)


Soal Nomor 7


Turunan pertama dari \(y= 3 \hspace{1mm}sin \hspace{1mm}x-x\) sama dengan 

Pembahasan

\(y= 3 \hspace{1mm}sin \hspace{1mm}x-x\)
\(y^{'}= 3 \hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x-1\)


Soal Nomor 8


Turunan dari \(f(x)=3x^{2}-\frac{1}{2x}+2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x\) sama dengan 

Pembahasan

\(f(x)=3x^{2}-\frac{1}{2x}+2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x\)
\(f^(x)=3x^{2}-2x^{-1}+2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x\)
\(f^{'}(x)=2\times3x^{2-1}-(-1)2x^{-1-1}+2\hspace{1mm}.-sin\hspace{1mm}x\)
\(f^{'}(x)=6x^{1}+2x^{-2}-2\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}x\)
\(f^{'}(x)=6x+\frac{1}{2x^{2}}-2\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}x\)


Soal Nomor 9


Hasil deferensial  dari \(T(x)=(sin\hspace{1mm}x+1)(sin\hspace{1mm}x-2)\) adalah

Pembahasan

Misalnya :

\(u=sin\hspace{1mm}x+1\)
\(v=sin\hspace{1mm}x-2\)

Langkah 1 :

Turunkan \(u\) dan \(v\) 

\(u=sin\hspace{1mm}x+1\)
\(u^{'}=cos\hspace{1mm}x\)

\(v=sin\hspace{1mm}x-2\)
\(v^{'}=cos\hspace{1mm}x\)

Langkah 2 :

\(T^{'}(x)=u^{'}v+uv^{'}\)
\(T^{'}(x)=cos\hspace{1mm}x(sin\hspace{1mm}x-2)+(sin\hspace{1mm}x+1)cos\hspace{1mm}x\)
\(T^{'}(x)=cos\hspace{1mm}x\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}x-2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x+sin\hspace{1mm}x\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x+cos\hspace{1mm}x\)
\(T^{'}(x)=2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}x-\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x\)
\(T^{'}(x)=sin\hspace{1mm}2x-\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x\)


Soal Nomor 10


Jika \(h(\theta)=(\theta+\frac{\pi}{2}) \hspace{1mm}sin\hspace{1mm}\theta\) maka \(h^{'}(\theta)\) sama dengan.....

Pembahasan

Misalnya :

\(u=\theta+\frac{\pi}{2}\)
\(v= sin\hspace{1mm}\theta\)

Langkah 1 :

\(u=\theta+\frac{\pi}{2}\)
\(u^{'}= 1\)

\(v= sin\hspace{1mm}\theta\)
\(v^{'}= cos\hspace{1mm}\theta\)

Langkah 2 :

\(y^{'}=u^{'}v+uv^{'}\)
\(h^{'}(\theta)= 1. sin\hspace{1mm}\theta + (\theta+\frac{\pi}{2}) cos\hspace{1mm}\theta\)
\(h^{'}(\theta)= sin\hspace{1mm}\theta + \theta\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}\theta+\frac{\pi}{2} cos\hspace{1mm}\theta\)


Soal Nomor 11


Jika \(f(x)=(2+cos\hspace{1mm}x)sin\hspace{1mm}x\), maka \(f^{'}(\frac{\pi}{4})=\) 

Pembahasan

Misalkan :

\(u= 2+cos\hspace{1mm}x\)
\(v=sin\hspace{1mm}x\)

Langkah 1 :

\(u= 2+cos\hspace{1mm}x\)
\(u^{'}= -sin\hspace{1mm}x\)

\(v=sin\hspace{1mm}x\)
\(v^{'}=cos\hspace{1mm}x\)

Langkah 2 :

\(y^{'}=u^{'}v+uv^{'}\)
\(y^{'}=-sin\hspace{1mm}x(sin\hspace{1mm}x)+(2+cos\hspace{1mm}x)cos\hspace{1mm}x\)
\(y^{'}=-sin^{2}\hspace{1mm}x+2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x+cos^{2}\hspace{1mm}x\)
\(y^{'}=-(1-cos^{2}x)+2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x+cos^{2}\hspace{1mm}x\)
\(y^{'}=-1+cos^{2}x+2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x+cos^{2}\hspace{1mm}x\)
\(y^{'}=2\hspace{1mm}cos^{2}x+2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x-1\)
\(y^{'}=2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x(1+cos\hspace{1mm}x)-1\)

Langkah 3 :

\(f^{'}(x)=2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x(1+cos\hspace{1mm}x)-1\)

\(f^{'}(\frac{\pi}{4})=2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}\frac{\pi}{4}(1+cos\hspace{1mm}\frac{\pi}{4})-1\)

\(f^{'}(\frac{\pi}{4})=2\hspace{1mm}\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\frac{\sqrt{2}}{2})-1\)

\(f^{'}(\frac{\pi}{4})= \sqrt{2}(1+\frac{\sqrt{2}}{2})-1\)

\(f^{'}(\frac{\pi}{4})= \sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{2}-1\)

\(f^{'}(\frac{\pi}{4})= \sqrt{2}+\frac{2}{2}-1\)

\(f^{'}(\frac{\pi}{4})= \sqrt{2}+1-1\)

\(f^{'}(\frac{\pi}{4})= \sqrt{2}\)


Soal Nomor 12


Jika \(g(x)=\frac{cos\hspace{1mm}x+2}{sin\hspace{1mm}x}\) dengan \(sin\hspace{1mm}x\neq0\), maka \( g^{'}(\frac{\pi}{2})=....\)

Pembahasan

Misalkan :

\(u=cos\hspace{1mm}x+2\)
\(v=sin\hspace{1mm}x\)

Langkah 1 :

\(u=cos\hspace{1mm}x+2\)
\(u^{'}=-sin\hspace{1mm}x\)

\(v=sin\hspace{1mm}x\)
\(v^{'}=cos\hspace{1mm}x\)

Langkah 2 :

\(y^{'}=\frac{u^{'}v-uv^{'}}{v^{2}}\)

\(y^{'}=\frac{-sin\hspace{1mm}x(sin\hspace{1mm}x)-(cos\hspace{1mm}x+2)cos\hspace{1mm}x}{sin^{2}\hspace{1mm}x}\)

\(y^{'}=\frac{-sin^{2}\hspace{1mm}x- cos^{2}\hspace{1mm}x-2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x}{sin^{2}\hspace{1mm}x}\)

\(y^{'}=\frac{-(sin^{2}\hspace{1mm}x+cos^{2}\hspace{1mm}x)-2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x}{sin^{2}\hspace{1mm}x}\)

\(y^{'}=\frac{-(1)-2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x}{sin^{2}\hspace{1mm}x}\)

\(y^{'}=\frac{-1-2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x}{sin^{2}\hspace{1mm}x}\)

\(g^{'}(\frac{\pi}{2})=\frac{-1-2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}\frac{\pi}{2}}{sin^{2}\hspace{1mm}\frac{\pi}{2}}\)

\(g^{'}(\frac{\pi}{2})=\frac{-1-2\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}\frac{\pi}{2}}{sin^{2}\hspace{1mm}\frac{\pi}{2}}\)

\(g^{'}(\frac{\pi}{2})=\frac{-1-2\hspace{1mm}.0}{(1)^{2}}\)

\(g^{'}(\frac{\pi}{2})=\frac{-1-0}{1}\)

\(g^{'}(\frac{\pi}{2})=\frac{-1}{1}=-1\)


Soal Nomor 13


Turunan dari \(g(x)=sin^{2}\hspace{1mm}x+cos\hspace{1mm}3x\) adalah...

Pembahasan

\(g(x)=sin^{2}\hspace{1mm}x+cos\hspace{1mm}3x\)

\(g^{'}(x)=2\times\hspace{1mm}sin^{2-1}\hspace{1mm}x\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x+3\times\hspace{1mm}-sin\hspace{1mm}3x\)

\(g^{'}(x)=2\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}x\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x-3\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}3x\)

\(g^{'}(x)=sin\hspace{1mm}2x-3\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}3x\)


Soal Nomor 14


Turunan dari \(y=tan(2\alpha-3)\) adalah....

Pembahasan

\(y=tan(2\alpha-3)\)
\(y^{'}=1\times2\alpha^{1-1}-0\times3\alpha^{0-1}\hspace{1mm}sec^{2}(2\alpha-3)\)
\(y^{'}=1\times2\alpha^{0}-0\times3\alpha^{-1}\hspace{1mm}sec^{2}(2\alpha-3)\)
\(y^{'}=2(1)-0\hspace{1mm}sec^{2}(2\alpha-3)\)
\(y^{'}=2\hspace{1mm}sec^{2}(2\alpha-3)\)


Soal Nomor 15


\(f(x)=x^{2}\hspace{1mm}cot\hspace{1mm}x\), maka \(f^{'}(\frac{\pi}{4})\) sama dengan....

Pembahasan

Misalnya :

\(u=x^{2}\)
\(v=cot\hspace{1mm}x\)

Langkah 1 :

\(u=x^{2}\)
\(u^{'}=2x\)

\(v=cot\hspace{1mm}x\)
\(v^{'}=-csc^{2}\hspace{1mm}x\)

Langkah 2 :

\(y^{'}=u^{'}v+uv^{'}\)
\(y^{'}=2x.cot\hspace{1mm}x+x^{2}(-csc^{2}\hspace{1mm}x)\)
\(y^{'}=2x.cot\hspace{1mm}x-x^{2}\hspace{2mm}csc^{2}\hspace{1mm}x\)

Langkah 3 :

\(f^{'}(\frac{\pi}{4})=2(\frac{\pi}{4}).cot\hspace{1mm}(\frac{\pi}{4})-(\frac{\pi}{4})^{2}\hspace{2mm}csc^{2}\hspace{1mm}(\frac{\pi}{4})\)

\(f^{'}(\frac{\pi}{4})=(\frac{\pi}{2})(1)-(\frac{\pi}{4})^{2}(2)\)

\(f^{'}(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^{2}}{16}(2)\)

\(f^{'}(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^{2}}{8}\)

\(f^{'}(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{8}\pi(4-\pi)\)


Soal Nomor 16


\(\frac{d}{dx}(3\hspace{1mm}cos \hspace{1mm} 2x + tan \hspace{1mm} 4x)=\)

Pembahasan

\(\frac{d}{dx}=3\hspace{1mm}cos \hspace{1mm} 2x + tan \hspace{1mm} 4x\)

\(\frac{d}{dx}=2\times 3\hspace{1mm}-sin\hspace{1mm} 2x +4\times sec^{2} \hspace{1mm} 4x\)

\(\frac{d}{dx}=-6\hspace{1mm}sin\hspace{1mm} 2x + 4\hspace{1mm}sec^{2} \hspace{1mm} 4x\)


Soal Nomor 17


Turunan dari \(g(x)=cos^{3}\hspace{1mm}x\) adalah...

Pembahasan

\(g(x)=cos^{3}\hspace{1mm}x\)
\(g^{'}(x)=3\times cos^{3-1}\hspace{1mm}x.1.x^{1-1}.-sin\hspace{1mm}x\)
\(g^{'}(x)=3\hspace{1mm}cos^{2}\hspace{1mm}x.1.x^{0}.-sin\hspace{1mm}x\)
\(g^{'}(x)=3\hspace{1mm}cos^{2}\hspace{1mm}x.1.1.-sin\hspace{1mm}x\)
\(g^{'}(x)=3\hspace{1mm}cos^{2}\hspace{1mm}x.-sin\hspace{1mm}x\)
\(g^{'}(x)=-3\hspace{1mm}cos^{2}\hspace{1mm}x.sin\hspace{1mm}x\)


Soal Nomor 18


Turunan dari \(h(x)=x^{2}\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}x\) adalah...

Pembahasan

Misalnya :

\(u=x^{2}\)
\(v=sin\hspace{1mm}x\)

Langkah 1 :

\(u=x^{2}\)
\(u^{'}=2x\)

\(v=sin\hspace{1mm}x\)
\(v^{'}=cos\hspace{1mm}x\)

Langkah 2 :

\(y^{'}=  u^{'}v+uv^{'}\)
\(y^{'}=  2x.sin\hspace{1mm}x+x^{2}.cos\hspace{1mm}x\)
\(h^{'}(x)=  2x\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}x+x^{2}\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}x\)


Soal Nomor 19


Jika \(f(x)=sin\hspace{1mm}ax+cos\hspace{1mm}bx\) memenuhi \(f^{'}(0)=b\) dan \(f^{'}(\frac{\pi}{2a})=-1\), maka \(a+b=...\)

Pembahasan

Langkah 1 :

\(f(x)=sin\hspace{1mm}ax+cos\hspace{1mm}bx\)
\(f^{'}(x)=a\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}ax+b\hspace{1mm}-sin\hspace{1mm}bx\)
\(f^{'}(x)=a\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}ax-b\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}bx\)

Langkah 2 : 

\(f^{'}(0)=a\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}a(0)-b\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}b(0)\)
\(f^{'}(0)=a\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}0-b\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}0\)
\(f^{'}(0)=a\hspace{1mm}(1)-b\hspace{1mm}(0)\)
\(b=a\)

 Ganti \(a\) dengan \(b\) karena \(a=b\)

\(f^{'}(\frac{\pi}{2a})=a\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}a(\frac{\pi}{2a})-b\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}b(\frac{\pi}{2a})\)

\(f^{'}(\frac{\pi}{2a})=a\hspace{1mm}(0)-a\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}a(\frac{\pi}{2a})\)

\(f^{'}(\frac{\pi}{2a})= 0-a\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}(\frac{\pi}{2})\)

\(-1= 0-a(1)\)

\(-1= -a \Rightarrow a=1\)

Jadi \(a+b=1+1=2\)


Soal Nomor 20


\(\frac{d}{dx}(x^{2}\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}2x)=...\)

Pembahasan

Misalnya :

\(u=x^{2}\)
\(v=cos\hspace{1mm}2x\)

Langkah 1 :

\(u=x^{2}\)
\(u^{'}=2x\)

\(v=cos\hspace{1mm}2x\)
\(v^{'}=-2\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}2x\)

Langkah 2 :

\(y^{'}=u^{'}v+uv^{'}\)
\(y^{'}=2x.cos\hspace{1mm}2x+x^{2}.-2sin\hspace{1mm}2x\)
\(\frac{d}{dx}=2x\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}2x-2x^{2}\hspace{1mm}sin\hspace{1mm}2x\)



Contoh Soal Turunan Parsial dan Pembahasannya 


Soal Nomor 1


\(f(x,y)=x^{2}-y^{2}\)

Pembahasan

\(f(x,y)=x^{2}-y^{2}\)
\(f_x(x,y)=2x\)

\(f(x,y)=x^{2}-y^{2}\)
\(f_y(x,y)=-2y\)

Soal Nomor 2


\(f(x,y)=x^{3}+x^{2}y^{2}-2y^{2}\)

Pembahasan

\(f(x,y)=x^{3}+x^{2}y^{2}-2y^{2}\)
\(f_x(x,y)=3x^{2}+2xy^{2}\)

\(f(x,y)=x^{3}+x^{2}y^{2}-2y^{2}\)
\(f_y(x,y)=x^{2}2y-4y\)

Soal Nomor 3


\(f(x,y)=x^{2}y^{4}+x^{3}y^{2}\)

Pembahasan

\(f(x,y)=x^{2}y^{4}+x^{3}y^{2}\)
\(f_x(x,y)=2xy^{4}+3x^{2}y^{2}\)

\(f(x,y)=x^{2}y^{4}+x^{3}y^{2}\)
\(f_y(x,y)=x^{2}4y^{3}+x^{3}2y\)

Soal Nomor 4


\(f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\)

Pembahasan

\(f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\)
\(f_x(x,y)=\frac{1}{2x}\)

\(f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\)
\(f_y(x,y)=\frac{1}{2y}\)


Penutup


Sekian mengenai pembahasan contoh soal turunan, jika bermanfaat silahkan dishare ke teman-temannya. Apabila ada yang kurang dimengerti atau kesalahan penulisan silahkan ditanyakan karena artikel yang saya publikasikan akan dipertanggungjawabkan kebenarannya. Terimakasih.