Materi Vektor Matematika PDF -  Materi konsep dasar vektor meliputi besaran skalar, besaran vektor, cara menggambarkan vektor dan notasi vektor. 

Besaran skalar merupakan besaran yang hanya mempunyai nilai saja dan tidak mempunyai arah, contoh besaran skalar yaitu jarak, luas, volume, daya dan kelajuan. 

Besaran vektor merupakan besaran yang mempunyai nilai dan arah, contohnya seperti perpindahan, kecepatan, percepatan dan gaya.


Cara Menggambarkan Vektor


Cara Menggambarkan Vektor dengan Sebuah Anak Panah

Penjelasan dari gambar di atas :

Vektor digambarkan dengan sebuah anak panah yang terdiri dari pangkal yang menandakan titik awal atau titik tangkap sebuah vektor, panjang vektor yang merepresentasikan besar atau nilai suatu vektor, dan arah anak panah adalah ujung vektornya yang menunjukan arah vektor.

    Notasi Vektor


    Materi Vektor Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 2 PDF


    Untuk gambar anak panah yang pertama atau paling atas merepresentasikan vektor \(\vec{AB}\) karena titik pangkal sebuah vektornya di A dan ujung vektornya di B

    Sedangkan untuk gambar anak panah paling bawah atau yang kedua merepresentasikan vektor \(\vec{BA}\) karena titik pangkal atau awal sebuah vektornya di B dan arah anak panah atau ujung vektornya di A.

    Pokoknya \(\overrightarrow{AB}\) adalah vektor A menuju B sedangkan \(\overrightarrow{BA}\) adalah vektor B menuju A. Jika kalian memperhatikan penulisannya, itu dimulai dengan titik pangkal dulu kemudian ujung vektornya.

    Penggunaan vektor bisa juga menggunakan huruf non kapital yang diberikan tanda panah di atasnya, atau di bawah hurufnya diberikan garis dan bisa juga dengan menebalkan huruf nya. Untuk semua contoh penulisannya berurutan sesuai yang saya terangkan di kalimat sebelumnya.

    Contoh :
      Rangkuman Materi Vektor Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 2 PDFRangkuman Materi Vektor Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 2 PDFRangkuman Materi Vektor Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 2 PDF

    Vektor pada Bidang \((R_2)\)


    Vektor pada bidang hanya memiliki dua dimensi diantaranya yaitu kiri-kanan (horizontal) dan atas-bawah (vertikal). Sehingga hanya memiliki dua sumbu yaitu sumbu \(x\) dan sumbu \(y\).

    \( a = \left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\)

    • \(x\) = Merepresentasikan arah panah pada garis horizontal, jika arah panahnya ke kanan maka nilainya positif \((+)\) sedangkan jika arah panahnya ke kiri maka nilainya negatif \((-)\).

    • \(y\) = Merepresentasikan arah panah pada garis vertikal, jika arah panahnya ke atas maka nilainya positif \((+)\) sedangkan jika arah panahnya ke bawah maka nilainya negatif \((-)\).

    Contoh gambar vektor pada bidang 


    Mungkin untuk lebih jelas perhatikan contoh di bawah ini :

    Cara Menuliskan dan Menggambarkan Vektor pada Bidang

    Vektor \(a\) bisa ditulis menjadi \(a = \left(\begin{matrix} 3\\5\end{matrix}\right)\) atau bisa juga ditulis \(\vec{a}=(3,5)\) dan \(\vec{a}=3i+5j\).

    • Angka \(3\) didapat dari. Tiga langkah dari titik pangkal menuju titik perpotongan antara garis horizontal dengan vertikal, karena arah dari titik pangkal menuju titik perpotongan ke kanan maka nilainya positif.

    • Angka \(5\) didapat dari. Lima langkah dari titik perpotongan antara garis horizontal dengan vertikal menuju arah vektor/panah, karena arah vektornya ke atas maka nilainya positif.

    Vektor \(b\) bisa ditulis menjadi \(b=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)\) atau bisa juga ditulis \(\vec{b}=(-2,-4)\) dan \(\vec{b}=-2i-4j\).

    • Angka \(-2\) didapat dari. Dua langkah dari titik pangkal menuju titik perpotongan antara garis horizontal dengan vertikal, karena arah dari titik pangkal menuju titik perpotongan ke kiri maka nilainya negatif.

    • Angka \(-4\) didapat dari. Empat langkah dari titik perpotongan antara garis horizontal dengan vertikal menuju arah vektor/panah, karena arah vektornya ke bawah maka nilainya negatif.

    Vektor pada Ruang \((R_3)\)


    Untuk menggambarkan vektor pada ruang cukup sulit karena vektor ruang memiliki tiga dimensi diantaranya yaitu depan-belakang, kanan-kiri, dan atas-bawah. Jadi vektor pada ruang memiliki tiga sumbu yaitu \(x\), \(y\), dan \(z\). 

    • Sumbu \(x\) merepresentasikan dimensi depan-belakang.
    • Sumbu \(y\) merepresentasikan dimensi kanan-kiri.
    • Sumbu \(z\) merepresentasikan dimensi atas-bawah.

    Untuk memudahkan kalian dalam memahami cara menggambarkan vektor pada ruang, silahkan perhatikan contohnya di bawah ini :

    Cara menggambar vektor pada ruang


    Gambarkan vektor \(\vec{c}=\left(\begin{matrix}3\\5\\6\end{matrix}\right)\)

    Pembahasan

    Langkah 1 : 

    • Membuat gambar garis panah sumbu \(x\) ( warna biru ), sumbu \(y\) ( warna merah ), dan sumbu \(z\) ( warna hitam ). Untuk garis panah putus-putus merupakan wilayah untuk vektor yang bernilai negatif ( belakang, kiri, dan bawah ). 
    Hasil gambarnya seperti di bawah ini :

    Cara Menuliskan dan Menggambarkan Vektor pada Ruang


    Langkah 2 : 

    • Cara menggambarkan vektor \(\vec{c}\) kita perlu menghubungkan titik-titik dimensi \(x\), \(y\), dan \(z\). 

    • Jika titik-titik tersebut sudah dihubungkan maka akan membentuk bangun ruang. 

    • Selanjutnya untuk menggambarkan vektor \(\vec {c}\) hanya tinggal membuat garis panah dari titik pangkal koordinat menuju ujung atau sudut kanan atas bagian depan ( notes : kalau \(y\) negatif maka sudut kiri atas bagian depan berhubung di soal ini \(y\) nya bernilai positif jadi sudut kanan atas bagian depan ).

    Hasilnya seperti gambar di bawah ini :

    Materi Vektor Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 2 PDF



    Vektor Posisi 


    Vektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya 0. Vektor posisi titik \(A\) ditulis \(\overrightarrow{OA}\) atau \(\vec{a}\). 

    Jika \(A\) \((x,y,z)\), maka \(\vec{a}=\overrightarrow{OA}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)\)


    Panjang Vektor, Jarak Dua Titik dan Vektor Satuan

     

    Penjelasan gambar di atas :

    \(\overrightarrow{OP}=\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)

    Panjang vektor \(\overrightarrow{OP}\)

    \(\begin{vmatrix} \overrightarrow{OP} \\ \end{vmatrix} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

    Panjang Vektor \(R_2\)


    \(\vec{u}=\ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\hspace{2mm} \rightarrow\) \(\begin{vmatrix} \vec{u} \\ \end{vmatrix} = \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

    Panjang Vektor \(R_3\)


    Panjang vektor \(\vec{a}\) adalah \(\begin{vmatrix} \vec{a}  \\  \end{vmatrix}= \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \)

    Jarak Dua Titik


    Vektor = vektor posisi ujung - vektor posisi pangkal

    \[\begin{vmatrix}\vec{AB}\end{vmatrix}=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}\]

    Vektor Satuan


    Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang satu. Rumus vektor satuan yang searah vektor \(\vec{v}\) adalah seperti di bawah ini:

    \[\hat{e_v}=\frac{1}{\begin{vmatrix}\vec{v}\\ \end{vmatrix}}.\vec{v}\]

    Contoh soal panjang vektor, jarak dua titik dan vektor satuan


    Contoh 1 :
    Diketahui koordinat titik \(A\)\((-3,6)\) dan \(B\)\((8,-4)\). Tentukan vektor \(\vec{AB}\)

    Pembahasan


    \(\vec{AB}= \vec{b}-\vec{a}\)

    \(=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)\)

    \(=\left(\begin{matrix}11\\-10\end{matrix}\right)\)

    Contoh 2 :
    Diketahui vektor \(\vec{a}=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)\). Tentukan panjang vektor \(\vec{a}\)

    Pembahasan

    \(\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}= \sqrt{(-3)^{2}+(4)^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}= \sqrt{9+16}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}= \sqrt{25}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}= 5\)

    Contoh 3 :
    Jika diketahui koordinat titik \(A(5,-7)\) dan \(B(-4,5)\). Berapakah jarak antara titik \(A\) dan \(B\) (panjang vektor \(\begin{vmatrix}AB\end{vmatrix}\) )?

    Pembahasan

    \(\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}\)

    \(\overrightarrow{AB}=\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)\)

    \(\overrightarrow{AB}=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)\)


    Panjang Vektor \(\overrightarrow{AB}\)

    \(\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=\sqrt{(-9)^{2}+(12)^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=\sqrt{81+144}\)

    \(\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=\sqrt{225}\)

    \(\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=15\)

    Kita juga bisa mencari panjang vektor \(\overrightarrow{AB}\) menggunakan rumus jarak dua titik. Lebih jelasnya pelajari cara di bawah ini :

    \(\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=\sqrt{(-4-5)^{2}+(5-(-7))^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=\sqrt{(-9)^{2}+(12)^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=\sqrt{81+144}\)

    \(\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=\sqrt{225}\)

    \(\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=15\)

    Contoh 4 :
    Diketahui vektor \(\vec{a}=\begin{pmatrix}\frac{-3}{5}\\\frac{4}{5}\end{pmatrix}\)  dan \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\). Manakah diantara kedua vektor tersebut yang termasuk vektor satuan ?

    Pembahasan

    Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang satu.

    Mengecek panjang vektor \(\vec{a}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}=\sqrt{(\frac{-3}{5})^{2}+(\frac{4}{5})^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}=\sqrt{\frac{25}{25}}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix} = 1\)

    \(\vec{a}\) adalah vektor satuan.

    Mengecek panjang vektor \(\vec{b}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}=\sqrt{(-2)^{2}+(1)^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}=\sqrt{4+1}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}=\sqrt{5}\)

    \(\vec{b}\) bukan vektor satuan

    Contoh 5 :
    Tentukanlah vektor satuan yang searah dengan vektor \(\vec{m}=\begin{pmatrix}12\\-9\end{pmatrix}\)

    Pembahasan

    \(\begin{vmatrix}\vec{m}\end{vmatrix}=\sqrt{12^{2}+(-9)^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{m}\end{vmatrix}=\sqrt{144+ 81}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{m}\end{vmatrix}=\sqrt{225}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{m}\end{vmatrix}= 15 \)


    \(\hat{e_v}=\frac{1}{\begin{vmatrix}\vec{v}\\ \end{vmatrix}}.\vec{v}\)

    \(\hat{e_m}=\begin{pmatrix}12\\-9\end{pmatrix}\frac{1}{15}\)

    \(\hat{e_m}= \begin{pmatrix}\frac{12}{15}\\ \frac{-9}{15}\end{pmatrix}\)


    Operasi Vektor Secara Aljabar


    Penjumlahan Vektor Secara Aljabar 


    Untuk penjumlahan vektor pada bidang \((R_2)\) dan vektor pada ruang \((R_3)\) secara aljabar sama aja. Hanya berbeda unsurnya saja karena  \((R_2)\) memiliki dua sumbu \(x\) dan \(y\) sedangkan \((R_3)\) memiliki tiga sumbu \(x\), \(y\) dan \(z\). 

    Untuk \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\) pada dimensi dua \((R_2)\)


    Jika \(\vec{u}=\left(\begin{matrix}x_1\\y_1\end{matrix}\right)\) dan \(\vec{v}=\left(\begin{matrix}x_2\\y_2\end{matrix}\right)\) maka :

    \(\vec{u} + \vec{v}= \left(\begin{matrix}x_1\\y_1\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}x_2\\y_2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_1+x_2\\y_1+y_2\end{matrix}\right)\) 
     

    Contoh soal penjumlahan vektor secara aljabar dan pembahasannya : 


    Diketahui vektor \(\vec{p}=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)\)  dan  \(\vec{q}=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)\) dan \(\vec{r}=\vec{p}+\vec{q}\). Tentukan vektor \(\vec{r}\)....

    Pembahasan 

    \(\vec{r}=\vec{p}+\vec{q}= \left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)\)

    Pengurangan Vektor Secara Aljabar


    Untuk pengurangan vektor  pada bidang \((R_2)\) dan vektor pada ruang \((R_3)\) secara aljabar sama aja. Hanya berbeda unsurnya saja karena  \((R_2)\) memiliki dua sumbu \(x\) dan \(y\) sedangkan \((R_3)\) memiliki tiga sumbu \(x\), \(y\) dan \(z\).

    Untuk \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\) pada dimensi dua \((R_2)\)


    Jika \(\vec{u}=\left(\begin{matrix}x_1\\y_1\end{matrix}\right)\) dan \(\vec{v}=\left(\begin{matrix}x_2\\y_2\end{matrix}\right)\) maka :

    \(\vec{u} - \vec{v}= \left(\begin{matrix}x_1\\y_1\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}x_2\\y_2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_1-x_2\\y_1-y_2\end{matrix}\right)\)

    Contoh soal pengurangan vektor secara aljabar dan pembahasannya : 


    Diketahui vektor \(\vec{p}=\left(\begin{matrix}-7\\-5\end{matrix}\right)\)  dan  \(\vec{q}=\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)\) dan \(\vec{r}=\vec{p}-\vec{q}\). Tentukan vektor \(\vec{r}\)....

    Pembahasan

    \(\vec{r}=\vec{p}-\vec{q}= \left(\begin{matrix}-7\\-5\end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\1\end{matrix}\right)\)

    Perkalian Skalar dengan Vektor Secara Aljabar 


    Secara aljabar, perkalian skalar dengan vektor caranya kalikan semua unsur pada vektor dengan skalar.

    Misal diketahui \(\vec{a} = \left(\begin{matrix}x_1\\y_1\end{matrix}\right)\) dan \(\vec{b} = \left(\begin{matrix}x_1\\y_1\\z_1\end{matrix}\right)\) dan skalar \(k\), maka :

    \(k\vec{a}= \left(\begin{matrix}kx_1\\ky_1\end{matrix}\right)\) dan \(k\vec{b}= \left(\begin{matrix}kx_1\\ky_1\\kz_1\end{matrix}\right)\)

    Contoh soal perkalian skalar dengan vektor secara aljabar dan pembahasannya :


    Diketahui \(\vec{p}=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)\). Tentukan vektor \(4\vec{p}\).....

    Pembahasan

    \(4\vec{p}=4\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\24\end{matrix}\right)\)


    Kesamaan Vektor


    Dua buah vektor atau lebih dikatakan sama jika vektor-vektor tersebut memiliki arah dan panjang yang sama.

    Secara Geometri


    Secara geometris vektor dikatakan sama jika besar atau panjang dan arahnya sama.

    1. \(\vec{AB}=\vec{CD}\) karena arah dan panjangnya sama.
    2. \(\vec{AB}\neq\vec{FE}\) karena arahnya beda walaupun panjangnya sama.
    3. \(\vec{EF}=-\vec{FE}\) karena jika di depan vektor diberi tanda negatif maka arahnya menjadi berbalik arah atau berlawanan dari arah vektor yang sesungguhnya. Analogi gampangnya \(1=-(-1)\).

    Secara Aljabar


    Secara aljabar vektor dikatakan sama jika unsur-unsur yang bersesuaian sama. Misal diketahui vektor  \(\vec{a}=\left(\begin{matrix}a_1\\a_2\\a_3\end{matrix}\right)\) dan \(\vec{b}=\left(\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3\end{matrix}\right)\). Jika \(\vec{a}=\vec{b}\) maka \(a_1=b_1\), \(a_2=b_2\), dan \(a_3=b_3\). 




    Perbandingan Vektor


    Perbandingan vektor terbagi menjadi dua bagian yaitu perbandingan dalam bentuk koordinat dan perbandingan dalam bentuk vektor.

    Perbandingan dalam Bentuk Koordinat


    Perbandingan dalam Bentuk Koordinat

    \(\overrightarrow{AB}:\overrightarrow{PB}= m:n\)

    Untuk mencari koordinat titik \(P\), jika titik \(A\) dan \(B\)  serta perbandingannya diketahui maka kita akan menggunakan rumus \(x_p=\frac{mx_b+nx_a}{m+n}\) dan  \(y_p=\frac{my_b+ny_a}{m+n}\)

    Contoh soal perbandingan dalam bentuk koordinat


    Contoh 1 :

    Diketahui koordinat titik \(A(-2,1)\)  dan \(B(8,-4)\). Jika \(\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=3:2\). Tentukan koordinat titik \(P\) 

    Pembahasan

    Dari soal di atas didapatkan nilai \(m=3\) dan \(n=2\).

    Kita gambarkan dulu, agar lebih mudah dalam mengerjakannya. 


    Mencari nilai \(x_p=\)

    \(x_p=\frac{mx_b+nx_a}{m+n}\)

    \(x_p=\frac{3\times8+2\times(-2)}{3+2}\)

    \(x_p=\frac{24-4}{5}\)

    \(x_p=\frac{20}{5}\)

    \(x_p=4\)


    Mencari nilai \(y_p=\)

    \(y_p=\frac{my_b+ny_a}{m+n}\)

    \(y_p=\frac{3\times(-4)+2\times1}{3+2}\)

    \(y_p=\frac{-12+2}{5}\)

    \(y_p=\frac{-10}{5}\)

    \(y_p=-2\)

    Jadi diperoleh koordinat titik \(P\) adalah \((4,-2)\)

    Contoh 2 :

    Titik \(P\) terletak pada garis AB. Koordinat titik \(A(11,3,-2)\) dan titik \(B(6,8,3)\). Jika \(\overrightarrow{AB}: \overrightarrow{BP}=5:-2\). Tentukan koordinat titik P.

    Pembahasan

    Contoh Soal Perbandingan Vektor dalam Bentuk Koordinat

    Pada soal ini perbandingan titik koordinatnya ada yang bernilai negatif.  Pada materi kesamaan vektor sudah saya terangkan mengenai hal ini, jadi jika di depan vektor ada tanda negatif maka arah vektornya berlawanan dari arah vektor yang sesungguhnya. 

    Agar kita bisa mengerjakan soal ini menggunakan rumus \(y_p=\frac{my_b+ny_a}{m+n}\) maka kita perlu mengubah perbandingan dari \(\overrightarrow{AB}: \overrightarrow{BP}\) menjadi \(\overrightarrow{AP}: \overrightarrow{PB}\).

    Pada soal diketahui \(\overrightarrow{AB}: \overrightarrow{BP}=5:-2\). Coba perhatikan gambarnya jarak \(A\) ke \(B\) \(= 5\) dan jarak \(B\) ke \(P\) \(=-2\) berarti kalo jarak \(P\) ke \(B\) \(=2\) tinggal dibalik aja dan nilainya juga berubah menjadi kebalikannya.  

    Maka untuk mencari \(AP=AB-PB\).

    \(AP=AB-PB\)

    \(AP=5-2\)

    \(AP=3\)

    Mencari nilai \(x_p\)

    \(x_p=\frac{mx_b+nx_a}{m+n}\)

    \(x_p=\frac{3\times6+2\times11}{3+2}\)

    \(x_p=\frac{18+22}{5}\)

    \(x_p=\frac{40}{5}\)

    \(x_p=8\)

    Mencari nilai \(y_p\)

    \(y_p=\frac{my_b+ny_a}{m+n}\)

    \(y_p=\frac{3\times8+2\times3}{3+2}\)

    \(y_p=\frac{24+6}{5}\)

    \(y_p=\frac{30}{5}\)

    \(y_p=6\)

    Mencari nilai \(z_p\)

    \(z_p=\frac{mz_b+nz_a}{m+n}\)

    \(z_p=\frac{3\times3+2\times(-2)}{3+2}\)

    \(z_p=\frac{9-4}{5}\)

    \(z_p=\frac{5}{5}\)

    \(z_p=1\)

    Jadi Titik Koordinat \(P\) nya adalah \((8,6,1)\)

    Perbandingan dalam Bentuk Vektor


    Rumus perbandingan dalam bentuk vektor :
     
    \[\vec{p}=\frac{m\vec{b}+n\vec{a}} {m+n}\]

    Contoh soal perbandingan dalam bentuk vektor


    Contoh 1 : 

    Pehatikan gambar di bawah ini :

    Perbandingan dalam bentuk vektor

    Jika \(\overrightarrow{AB}=\vec{u}\) dan \(\overrightarrow{AD}=\vec{v}\). Nyatakanlah vektor \(\overrightarrow{AE}\) dalam vektor \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\). 

    Pembahasan

    \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{u}+\vec{v}\)

    \(\overrightarrow{AE}= \frac{3\overrightarrow{AC}+5\overrightarrow{AD}}{3+5}= \frac {3(\vec{u}+\vec{v})+5(\vec{v})}{8}= \frac {3\vec{u}+3\vec{v}+5\vec{v}}{8}\)

    \(\overrightarrow{AE}= \frac {3\vec{u}+8\vec{v}}{8}\)


    Panjang Proyeksi dan Proyeksi Skalar


    Panjang Proyeksi 


    Rumus panjang proyeksi :

    • Panjang proyeksi \(\vec{a}\) pada \(\vec{b}\)
    Panjang proyeksi \(= \begin {vmatrix}\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}} \end{vmatrix}\)

    • Panjang proyeksi \(\vec{b}\) pada \(\vec{a}\)
    Panjang proyeksi \(= \begin {vmatrix}\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}} \end{vmatrix}\)

    Contoh soal panjang proyeksi 


    Diketahui  \(A(-3,0,0)\), \(B(0,3,0)\) dan \(C(0,0,2)\). Tentukan panjang proyeksi \(\overrightarrow{AC}\) pada \(\overrightarrow{AB}\).

    Pembahasan

    \(\overrightarrow{AB}= B-A\)

    \(\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}-3\\0\\0\end{pmatrix}\)

    \(\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}\)

    \(\overrightarrow{AC}= C-A\)

    \(\overrightarrow{AC}= \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}-3\\0\\0\end{pmatrix}\)

    \(\overrightarrow{AC}= \begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}\)

    Mencari panjang vektor \(\overrightarrow{AB}\)

    \(\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=\sqrt{3^{2}+3^{2}+0^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=\sqrt{9+9+0}\)

    \(\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=\sqrt{18}\)

    \(\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}=3\sqrt{2}\)

    Mencari panjang proyeksi \(\overrightarrow{AC}\) pada \(\overrightarrow{AB}\)

    Panjang proyeksi \(= \begin {vmatrix}\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\begin{vmatrix}\overrightarrow{AB}\end{vmatrix}} \end{vmatrix}\)

    Panjang proyeksi \(= \begin {vmatrix}\frac{\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}. \begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}{\begin{vmatrix}3\sqrt{2}\end{vmatrix}} \end{vmatrix}\)

    Panjang proyeksi \(= \begin {vmatrix}\frac{9+0+0}{3\sqrt{2}} \end{vmatrix}\)

    Panjang proyeksi \(= \begin {vmatrix}\frac{9}{3\sqrt{2}} \end{vmatrix}\)

    Panjang proyeksi \(= \begin {vmatrix}\frac{3}{\sqrt{2}} \end{vmatrix}\)

    Panjang proyeksi \(= \begin {vmatrix}\frac{3}{2}\sqrt{2} \end{vmatrix}\)

    Panjang proyeksi \(= \frac{3}{2}\sqrt{2}\)

    Proyeksi Skalar


    Rumus proyeksi skalar :

    • Proyeksi skalar \(\vec{a}\) pada \(\vec{b}\)
    Proyeksi skalar \(=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}}\)

    • Proyeksi skalar \(\vec{b}\) pada \(\vec{a}\)
    Proyeksi skalar \(=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}}\)

    Contoh soal proyeksi skalar


    Diketahui \(\vec{a}=2i-2pj+4k\) dan \(\vec{b}= i-3j+4k\). Jika proyeksi skalar vektor \(\vec{a}\) pada \(\vec{b}\) adalah \(\frac{12}{\sqrt{26}}\), maka nilai \(p=....\)

    Pembahasan

    Diketahui :

    Proyeksi skalar \(=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}}\)

    \(\frac{12}{\sqrt{26}}=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}}\)

    Mencari nilai  \(\vec{a}.\vec{b}\) :

    \(\vec{a}.\vec{b}= \begin{pmatrix}2\\-2p\\4\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\6p\\16\end{pmatrix}\)

    Mencari nilai \(\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}\) :

    \(\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}= \sqrt {1^{2}+(-3)^{2}+4^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}= \sqrt {1+9+16}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}= \sqrt {26}\)

    Mencari nilai \(p\)

    \(\frac{12}{\sqrt{26}}=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}}\)

    \(\frac{12}{\sqrt{26}}=\frac{2+6p+16}{\sqrt {26}}\)

    \(\frac{12}{\sqrt{26}}=\frac{6p+18}{\sqrt {26}}\)

    \(12=6p+18\)

    \(p = -1\)


    Vektor Proyeksi


    Rumus vektor proyeksi :

    • Vektor proyeksi \(\vec{a}\) pada \(\vec{b}\)
    \[\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}^{2}}.\vec{b}\]
    • Vektor proyeksi \(\vec{b}\) pada \(\vec{a}\)
    \[\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}^{2}}.\vec{a}\]

    Contoh soal vektor proyeksi 


    Diketahui vektor \(\vec{a}=4i-2j+2k\) dan vektor \(\vec{b}=2i-6j+4k\). Proyeksi orthogonal vektor \(\vec{a}\) pada vektor \(\vec{b}\) adalah....

    Pembahasan

    Mencari nilai \(ab\) :

    \(ab = \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}2\\-6\\4\end{pmatrix}=8+12+8=28\)

    Mencari nilai \(\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}\) :

    \(\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}=\sqrt{2^{2}+(-6)^{2}+4^{2}}\)
    \(\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}=\sqrt{4+36+16}\)
    \(\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}=\sqrt{56}\)

    Mencari proyeksi vektor \(\vec{a}\) pada \(\vec{b}\) :

    \(\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}^{2}}.\vec{b}=\)

    \(\frac{28}{(\sqrt{56})^{2}}.\begin{pmatrix}2\\-6\\4\end{pmatrix}=\)

    \(\frac{28}{56}\begin{pmatrix}2\\-6\\4\end{pmatrix}=\)

    \(\frac{1}{2}.\begin{pmatrix}2\\-6\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix} \)


    Perkalian Titik Dua Buah Vektor atau Dot Product, Jika Besar Sudutnya Diketahui


    Rumusnya :

    \[\vec{a}.\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}.\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}cos \hspace{1mm}\theta\]

    Dengan \(0\leq\theta\leq\pi\) artinya \(\theta\) selalu berada di kuadran \(1\).

    Contoh soal perkalian titik dua buah vektor, jika besar sudut antara dua vektor diketahui 


    Jika sudut antara \(\vec{a}=i+\sqrt{2}j+pk\)  dan  \(\vec{b}=i-\sqrt{2}j+pk\) adalah \(60^{\circ}\), maka \(p=...\)

    Pembahasan

    Mencari nilai \(\vec{a}\vec{b}\)  :

    \(\vec{a}\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\ \sqrt{2}\\ p\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}1\\-\sqrt{2}\\p\end{pmatrix}\)

    \(\vec{a}\vec{b}= 1-2+p^{2}\)

    \(\vec{a}\vec{b}= p^{2}-1\)

    Mencari nilai \(\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix} = \sqrt {1^{2}+(\sqrt{2})^{2}+p^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix} = \sqrt {1+2+p^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix} = \sqrt {3+p^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix} = \sqrt {1^{2}+(-\sqrt{2})^{2}+p^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix} = \sqrt {1+2+p^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix} = \sqrt {3+p^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}=\sqrt {3+p^{2}}.\sqrt {3+p^{2}}\)

    \(\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}=3+p^{2}\)

    Mencari nilai \(cos \hspace{1mm}60^{\circ}\)

    \(cos \hspace{1mm}60^{\circ}=\frac{1}{2}\)

    Mencari nilai \(p\)

    \(cos\hspace{1mm}60^{\circ}=\frac{\vec{a}\vec{b}}{\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}}\)

    \(\frac{1}{2}=\frac{p^{2}-1}{3+p^{2}}\)

    \(3+p^{2}=2p^{2}-2\)

    \(p^{2}=5\)

    \(p=\pm\sqrt{5}\)


    Penutup


    Sekian rangkuman materi vektor matematika pdf, semoga bermanfaat dan jangan lupa share ke teman-temannya. Apabila ada yang tidak mengerti atau kesalahan penulisan dari artikel ini silahkan ditanyakan. Terimakasih......


    Donwload Materi Vektor Matematika PDF di bawah ini :